在如图所示的竖直平面内,水平轨道CD和倾斜轨道GH与半径r= m的光滑圆弧轨道分别相切于D点和G点,GH与水平面的夹角θ=37°.过G点、垂直于纸面的竖直平面左侧有匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度B=1.25 T;过D点、垂直于纸面的竖直平面右侧有匀强电场,电场方向水平向右,电场强度E=1×104 N/C.小物体P1质量m=2×10-3 kg、电荷量q=+8×10-6 C,受到水平向右的推力F=9.98×10-3 N的作用,沿CD向右做匀速直线运动,到达D点后撤去推力.当P1到达倾斜轨道底端G点时,不带电的小物体P2在GH顶端静止释放,经过时间t=0.1 s与P1相遇.P1和P2与轨道CD、GH间的动摩擦因数均为μ=0.5,取g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,物体电荷量保持不变,不计空气阻力.求:
(1)小物体P1在水平轨道CD上运动速度v的大小;
(2)倾斜轨道GH的长度s.
答案 (1)4 m/s (2)0.56 m
解析 (1)设小物体P1在匀强磁场中运动的速度为v,受到向上的洛伦兹力为F1,受到的摩擦力为f,则
F1=qvB①
f=μ(mg-F1)②
由题意,水平方向合力为零
F-f=0③
联立①②③式,代入数据解得
v=4 m/s④
(2)设P1在G点的速度大小为vG,由于洛伦兹力不做功,根据动能定理
qErsin θ-mgr(1-cos θ)=mv-mv2⑤
P1在GH上运动,受到重力、电场力和摩擦力的作用,设加速度为a1,根据牛顿第二定律
qEcos θ-mgsin θ-μ(mgcos θ+qEsin θ)=ma1⑥
P1与P2在GH上相遇时,设P1在GH上运动的距离为s1,则s1=vGt+a1t2⑦
设P2质量为m2,在GH上运动的加速度为a2,则
m2gsin θ-μm2gcos θ=m2a2⑧
P1与P2在GH上相遇时,设P2在GH上运动的距离为s2,则
s2=a2t2⑨
又s=s1+s2⑩
联立⑤~⑩式,代入数据得s=0.56 m