自主探究（一）　牛顿第二定律的表达式和力的单位

一、牛顿第二定律的表达式

❶实验结论：小车的加速度a与它所受的作用力F成正比，与它的质量m成反比。

❷内容：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。

❸表达式：F＝kma，k是比例系数，F是物体所受的合力。

❹方向关系：加速度的方向与力的方向一致。

二、力的单位

❶力的国际单位：牛顿，简称牛，符号为N。

❷“牛顿”的定义：使质量为1 kg的物体产生1 m/s²的加速度的力叫作1 N，即1 N＝1__kg·m/s²。

❸在质量的单位取kg，加速度的单位取m/s²，力的单位取N时，F＝kma中的k＝1，此时牛顿第二定律可表示为F＝ma。

【思考】 如图所示，某人在客厅内用力推沙发，但是沙发没有动。

(1)根据牛顿第二定律，有力就能产生加速度，人给沙发施加力后，沙发为什么没动？

(2)如果地板光滑，当人给沙发施加力的瞬间，沙发会有加速度吗？是否立刻获得速度？

提示　(1)牛顿第二定律F＝ma中的力F指的是物体受的合力，尽管对沙发有一个推力作用，但沙发受的合力为零，所以不能产生加速度。

(2)加速度与力之间是瞬时对应关系，有力就立刻获得加速度，但速度的获得需要一段时间，故不能立刻获得速度。

1.牛顿第二定律的五个性质

(1)因果性：力是使物体产生加速度的原因。

(2)矢量性：F＝ma是一个矢量式，应用时应先规定正方向。

(3)瞬时性：合力与加速度具有瞬时对应关系。

(4)同一性：合力与加速度对应同一研究对象。

(5)独立性：作用于物体上的每一个力各自产生加速度，F₁＝ma₁，F₂＝ma₂，…而物体的实际加速度则是每个加速度的矢量和，合力和加速度在各个方向上的分量也遵从牛顿第二定律，如F_x＝ma_x，F_y＝ma_y。

2.对表达式F＝ma的理解

(1)单位统一：表达式中F、m、a三个物理量的单位都必须是国际单位。

(2)F的含义：指的是物体所受的合力。

(3)“＝”的含义：不仅表示左右两边数值相等，也表示方向相同，即物体加速度的方向与它所受合力的方向相同。

【例1】关于速度、加速度、合力的关系，下列说法不正确的是(　　)

A.原来静止在光滑水平面上的物体，受到水平推力的瞬间，物体立刻获得加速度

B.加速度的方向与合力的方向总是一致的，但与速度的方向可能相同，也可能不同

C.在初速度为0的匀加速直线运动中，速度、加速度与合力的方向总是一致的

D.合力变小，物体的速度一定变小

答案　D

解析　由牛顿第二定律可知选项A、B正确；初速度为0的匀加速直线运动中，v、a、F三者的方向相同，选项C正确；合力变小，加速度变小，但速度是变大还是变小取决于加速度与速度的方向关系，选项D错误。

1.合力、加速度、速度的关系

(1)力与加速度为因果关系：力是因，加速度是果，只要物体所受的合力不为零，就会产生加速度。加速度与合力方向是相同的，大小与合力成正比。

(2)力与速度无因果关系：合力的方向与速度方向可以相同，可以相反，还可以有夹角。合力的方向与速度的方向相同时，物体做加速运动，相反时物体做减速运动。

2.两个加速度公式的区别

a＝是加速度的定义式，是用比值定义法定义的物理量，a与v、Δv、Δt均无关；a＝是加速度的决定式，加速度由物体受到的合力和质量决定。

【训练1】关于牛顿第二定律，下列说法不正确的是(　　)

A.牛顿第二定律的表达式F＝ma是矢量式，a与F方向始终相同

B.某一瞬间的加速度，只能由这一瞬间的外力决定，而与这一瞬间之前或之后的外力无关

C.在公式F＝ma中，若F为合力，则a等于作用在该物体上的每一个力产生的加速度的矢量和

D.物体的运动方向一定与物体所受合力的方向相同

答案　D

解析　牛顿第二定律表达式是矢量式，a与F方向始终相同，A正确；F＝ma具有瞬时性，B正确；如果F＝ma中F是合力，则a为合力产生的加速度，即各分力产生加速度的矢量和，C正确；如果物体做减速运动，则v与F反向，D错误。

自主探究（二）　牛顿第二定律的简单应用

1.应用牛顿第二定律解题的步骤

2.应用牛顿第二定律解题的方法

(1)合成法：首先确定研究对象，画出受力示意图，当物体只受两个力作用时，利用平行四边形定则在加速度方向上直接求出合力，再根据牛顿第二定律列方程求解。

(2)正交分解法：当物体受多个力作用时，常用正交分解法，选取加速度a的方向建立坐标轴如x轴，则有；有些题目可以通过分解加速度从而减少分解力甚至不分解力，即。

【例2】 高铁已成为中国的名片，某人为了测量高铁启动过程的加速度，将一支笔(可视为质点)用细线系于高铁车厢内的顶壁上，高铁启动过程中，发现系笔的细线偏离竖直线的夹角为θ＝37°，此时笔和车厢相对静止，如图所示，设笔的质量为0.1 kg(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s²)。求：

(1)车厢运动的加速度大小；

(2)细线对笔的拉力大小。

答案　(1)7.5 m/s²　(2)1.25 N

解析　法一　合成法

(1)由于车厢沿水平方向运动，笔与车厢的加速度相同，所以笔有沿水平方向的加速度，所受合力F沿水平方向，选笔为研究对象，受力分析如图所示。

由几何关系可得F＝mgtan θ

由牛顿第二定律得F＝ma，则

笔的加速度大小a＝＝gtan θ＝7.5 m/s²，即车厢运动的加速大小为7.5 m/s²

(2)细线对笔的拉力大小为

F_T＝＝1.25 N。

法二　正交分解法

以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系，并将细线对笔的拉力F_T正交分解，如图所示

则沿水平方向有F_Tsin θ＝ma

竖直方向有F_Tcos θ＝mg

联立解得a＝7.5 m/s²，F_T＝1.25 N。

【训练2】 (2022·德州高一检测)如图所示，一木块沿倾角θ＝37°的光滑固定斜面自由下滑。g取10 m/s²，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。

(1)求木块的加速度大小；

(2)若木块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，求木块加速度的大小。

答案　(1)6 m/s²　(2)2 m/s²

解析　(1)分析木块的受力情况如图甲所示，

甲

木块受重力mg、支持力F_N两个力作用，合外力大小为mgsin θ，

根据牛顿第二定律得mgsin θ＝ma₁

解得a₁＝6 m/s²。

(2)若斜面粗糙，木块的受力情况如图乙所示，建立直角坐标系。

乙

在x方向上(沿斜面方向)

mgsin θ－F_f＝ma₂

在y方向上(垂直斜面方向)

F_N＝mgcos θ

又因为F_f＝μF_N

解得a₂＝2 m/s²。

自主探究（三）　瞬时加速度问题

1.四类模型

(1)轻绳、轻杆模型不发生明显形变就能产生弹力，剪断(或脱离)后，形变恢复几乎不需要时间，故认为弹力可以立即改变或消失。

(2)轻弹簧、橡皮条模型的形变量大，形变恢复需要较长时间，在瞬时性问题中，它们的自由端连接有物体时其弹力的大小不能突变，往往可以看成是不变的。

2.两个关键

(1)分析瞬时前、后的受力情况和运动状态。

(2)明确绳或线类、弹簧或橡皮条类模型的特点。

3.三个步骤

(1)分析原来物体的受力情况。

(2)分析物体在弹力发生突变时的受力情况。

(3)由牛顿第二定律列方程求解。

【例3】 (2022·江苏吴江市高级中学高一检测)如图所示，在动摩擦因数μ＝0.2的水平面上有一个质量m＝1 kg的小球，小球左侧连接一水平轻弹簧，弹簧左端固定在墙上，右侧连接一与竖直方向成θ＝45°角的不可伸长的轻绳，轻绳另一端固定在天花板上，此时小球处于静止状态，且水平面对小球的弹力恰好为零。在剪断轻绳的瞬间(g取10 m/s²)，下列说法中正确的是(　　)

A.小球仍然处于静止状态

B.小球立即向左加速，且加速度的大小a＝8 m/s²

C.小球立即向左加速，且加速度的大小a＝10 m/s²

D.若剪断的是弹簧，则剪断瞬间小球加速度的大小a＝10 m/s²

答案　B

解析　在剪断轻绳前，小球受重力、绳子的拉力以及弹簧的弹力处于平衡，根据共点力平衡的条件得，弹簧的弹力F＝mgtan 45 °＝10×1 N＝10 N，剪断轻绳的瞬间，弹簧的弹力仍然为10 N，小球此时受重力、支持力、弹簧弹力和摩擦力四个力作用。由于最大静摩擦F_f＝μmg＝2 N＜F，可知小球向左加速运动，根据牛顿第二定律得小球的加速度为a＝＝m/s²＝8 m/s²，合力方向向左，所以小球立即向左加速，故B正确，A、C错误；剪断弹簧的瞬间，轻绳对小球的拉力瞬间为零，此时小球所受的合力为零，则小球的加速度为零，故D错误。

【训练3】 如图所示，物块1、2间用竖直刚性轻质杆连接，物块3、4间用竖直轻质弹簧相连，物块1、3的质量为m，物块2、4的质量为M，两个系统均置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态。现将两木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，物块1、2、3、4的加速度大小分别为a₁、a₂、a₃、a₄，重力加速度为g，则有(　　)

A.a₁＝a₂＝a₃＝a₄＝0

B.a₁＝a₂＝a₃＝a₄＝g

C.a₁＝a₂＝g，a₃＝0，a₄＝g

D.a₁＝g，a₂＝，a₃＝0，a₄＝g

答案　C

解析　在抽出木板的瞬间，物块1、2与刚性轻杆接触处的形变立即消失，受到的合力均等于各自重力，所以由牛顿第二定律知a₁＝a₂＝g；而物块3、4间的轻弹簧的形变还来不及改变，此时弹簧对物块3向上的弹力大小和对物块4向下的弹力大小仍为mg，因此物块3满足mg＝F，a₃＝0；由牛顿第二定律得物块4的加速度a₄＝＝g，所以C正确。

1．对表达式F＝ma的理解

(1)F的含义：

①F是合力时，加速度a指的是合加速度，即物体的加速度；

②是某个分力时，加速度a是该分力产生的加速度。

(2)单位统一：表达式中F、m、a三个物理量的单位必须都用国际制单位。

2．牛顿第二定律的五个性质

 

3．a＝与a＝的区别

(1)a＝是加速度的定义式，不能决定a的大小，a与v、Δv、Δt均无关。

(2)a＝是加速度的决定式，加速度由物体受到的合力和质量共同

4.应用牛顿第二定律的一般步骤

(1)确定研究对象。

(2)进行受力分析和运动情况分析，作出受力和运动的示意图。

(3)求合力F或加速度a。

(4)根据F＝ma列方程求解。

5．应用牛顿第二定律求解加速度的两种方法

(1)合成法：若物体只受两个力作用时，直接应用平行四边形定则求这两个力的合力，物体所受合外力的方向与加速度的方向相同。

(2)正交分解法：当物体受多个力作用处于加速状态时，常用正交分解法求物体所受的合力，再应用牛顿第二定律求加速度。为减少矢量的分解以简化运算，建立坐标系时，可有如下两种情况：

1.(牛顿第二定律的理解)对静止在光滑水平面上的物体施加一水平拉力，当力刚开始作用的瞬间(　　)

A.物体立即获得速度

B.物体立即获得加速度

C.物体同时获得速度和加速度

D.由于物体没来得及运动，所以速度和加速度都为零

【答案】　B

【解析】　根据牛顿第二定律F＝ma可知，加速度与合力是瞬时对应的关系，合力变化，加速度同时变化，当力刚开始作用的瞬间，物体所受的合力立即增大，即立即获得了加速度，而物体由于具有惯性，速度还没有改变，B正确。

2.(牛顿第二定律的简单应用)一个物体质量为2 kg，在几个力作用下处于静止状态，现把一个大小为10 N的力撤去，其他力保持不变，则该物体将(　　)

A.沿该力的方向开始做匀加速运动，加速度的大小是5 m/s²

B.沿该力的相反方向做匀加速运动，加速度的大小是5 m/s²

C.沿该力的方向做匀加速直线运动，加速度大小为10 m/s²

D.由于惯性，物体仍保持原来的静止状态不变

【答案】　B

【解析】　物体开始处于静止状态，所受合力为0，撤去10 N的力，其他力保持不变，则物体所受合力的大小为10 N，方向与10 N的拉力方向相反，根据牛顿第二定律得a＝＝5 m/s²，则物体沿该力相反方向做匀加速运动，加速度大小为5 m/s²。故B正确，A、C、D错误。

3.(牛顿第二定律的简单应用)一个质量为m＝1 kg的小物体放在光滑水平面上，小物体受到两个水平恒力F₁＝2 N和F₂＝2 N作用而处于静止状态，如图所示。现在突然把F₁绕其作用点在竖直平面内向上转过53°，F₁大小不变，则此时小物体的加速度大小为(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　)

A.2 m/s²       B.1.6 m/s²

C.0.8 m/s²      D.0.4 m/s²

【答案】　C

【解析】　开始时两力大小相等，相互平衡；将F₁转过53°时，小物体受到的合力为F＝F₂－F₁cos 53°＝2 N－2×0.6 N＝0.8 N，则由牛顿第二定律可知，小物体的加速度大小为a＝＝ m/s²＝0.8 m/s²，故选项C正确。

4.(瞬时加速度问题)如图所示，A、B两球用细线悬挂于天花板上且静止不动，两球质量m_A＝2m_B，两球间是一个轻质弹簧，如果突然剪断悬线，则在剪断悬线瞬间 (　　)

A.A球加速度为g，B球加速度为g

B.A球加速度为g，B球加速度为0

C.A球加速度为g，B球加速度为0

D.A球加速度为g，B球加速度为g

【答案】　B

【解析】　在剪断悬线的瞬间弹簧的弹力保持不变，则B球的合力为零，加速度为零；对A球有(m_A＋m_B)g＝m_Aa_A，得a_A＝g，故选项B正确。

5.如图所示，电梯与水平面夹角为30°，当电梯加速向上运动时，人对梯面压力是其重力的，则人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍？

【答案】　

【解析】　对人进行受力分析：受重力mg、支持力F_N、摩擦力F(摩擦力的方向一定与接触面平行，由加速度的方向可推知F水平向右)。

建立直角坐标系：取水平向右(即F方向)为x轴正方向，此时只需分解加速度，其中a_x＝acos 30°，a_y＝asin 30°(如图所示)。

建立方程并求解，由牛顿第二定律

x方向：F＝macos 30°

y方向：F_N－mg＝masin 30°

所以＝