1.掌握动能的表达式和单位，知道动能是标量。

2.能运用牛顿第二定律与运动学公式推导出动能定理表达式，理解动能定理的物理意义。

3.能应用动能定理解决简单的问题。

4.会根据图像信息结合动能定理分析问题。

1.科学思维：应用牛顿第二定律和运动学公式进行演绎推理，推导动能定理。

2.关键能力：演绎推理能力，分析综合能力，数形结合能力。

自主探究（一）　动能和动能定理的理解

1.对动能的理解

(1)动能是标量，没有负值，与物体的速度方向无关。

(2)动能是状态量，具有瞬时性，与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应。

(3)动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。

2.动能变化量ΔE_k

ΔE_k＝mv－mv，若ΔE_k>0，则表示物体的动能增加，若ΔE_k<0，则表示物体的动能减少。

3.动能定理

表达式：W＝E_k2－E_k1＝mv－mv

(1)E_k2＝mv表示这个过程的末动能；

E_k1＝mv表示这个过程的初动能。

(2)W表示这个过程中合力做的功，它等于各力做功的代数和。

4.物理意义：动能定理指出了合力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即若合力做正功，物体的动能增加，若合力做负功，物体的动能减小，做了多少功，动能就变化多少。

5.实质：动能定理从能量变化的角度反映了力改变运动的状态在空间上的累积效果。

【例1】对动能的理解，下列说法错误的是(　　)

A.凡是运动的物体都具有动能

B.动能不可能为负值

C.一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化；但速度变化时，动能不一定

变化

D.动能不变的物体，一定处于平衡状态

答案　D

解析　物体由于运动而具有的能叫动能，A正确；由E_k＝mv²，B正确；由于速度是矢量，当速度大小不变、方向变化时，动能不变，但动能变化时，速度大小一定改变，C正确；做匀速圆周运动的物体，其动能不变，但物体却处于非平衡状态，D错误。

【针对训练1】关于运动物体所受的合力、合力的功、运动物体动能的变化，下列说法正确的是(　　)

A.运动物体所受的合力不为零，合力必做功，物体的动能一定要变化

B.运动物体所受的合力为零，则物体的动能一定不变

C.运动物体的动能保持不变，则该物体所受合力一定为零

D.运动物体所受合力不为零，物体的动能一定会增大

答案　B

解析　由功的公式W＝Flcos α知，合力不为零，但若α＝90°，合力的功也为零，故A、D错误；若合力为零，则合力的功也为零，由动能定理W_总＝E_k2－E_k1，知物体的动能不发生改变，故B正确；运动物体的动能保持不变，则该物体所受合力不一定为零，如匀速圆周运动，速率不变，动能不变，但合力不为零，故C错误。

自主探究（二）　动能定理的基本应用

1.解题步骤

 

2.几点说明

【例2】 (2021·北京市丰台区高一期末)如图所示为一滑梯的实物图，滑梯的斜面段长度L＝5.0 m，高度h＝3.0 m，为保证小朋友的安全，在水平面铺设安全地垫。水平段与斜面段平滑连接，小朋友在连接处速度大小不变。某小朋友从滑梯顶端由静止开始滑下，经斜面底端后水平滑行一段距离，停在水平地垫上。已知小朋友质量为m＝20 kg，小朋友在斜面上受到的平均摩擦力F_f1＝88 N，在水平段受到的平均摩擦力F_f2＝100 N。不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s²。求：

(1)小朋友在斜面滑下的过程中克服摩擦力做的功；

(2)小朋友滑到斜面底端时的速度v的大小；

(3)为使小朋友不滑出水平地垫，地垫的长度x至少多长。

答案　(1)440 J　(2)4 m/s　(3)1.6 m

解析　(1)小朋友在斜面滑下的过程中克服摩擦力做的功为

W₁＝F_f1L＝88×5 J＝440 J。

(2)小朋友在斜面上运动的过程，由动能定理得

mgh－W₁＝mv²－0

代入数据解得v＝4 m/s。

(3)小朋友在水平地垫上运动的过程，由动能定理得

－F_f2x＝0－mv²

代入数据解得x＝1.6 m。

【针对训练2】 (2021·重庆市黔江新华中学高一月考)如图所示的装置由AB、BC、CD三段轨道组成，轨道交接处均由很小的圆弧平滑连接，其中轨道AB、CD段是光滑的，水平轨道BC的长度s＝5 m，轨道CD足够长，A、D两点离轨道BC的高度分别为h₁＝4.30 m、h₂＝1.35 m。现让质量为m的小滑块自A点由静止释放。已知小滑块与轨道BC间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10 m/s²。求小滑块第一次到达C点和D点时的速度大小。

答案　6 m/s　3 m/s

解析　小滑块从A→B→C过程中，由动能定理得

mgh₁－μmgs＝mv－0

代入数据解得v_C＝6 m/s。

小滑块从A→B→C→D过程中，由动能定理得

mg(h₁－h₂)－μmgs＝mv－0

代入数据解得v_D＝3 m/s。

自主探究（三）　动能定理与图像的结合

1.分析图像

分析动能定理和图像结合的问题时，一定要弄清图像的物理意义，要特别注意图像的形状、交点、截距、斜率、面积等信息，并结合运动图像构建相应的物理模型，选择合适的规律求解有关问题。

2.基本步骤

【例3】 如图甲所示，在水平地面上放置一个质量为m＝4 kg的物体，让其在随位移均匀减小的水平推力作用下运动，推力F随位移x变化的图像如图乙所示，已知物体与地面之间的动摩擦因数为μ＝0.5，g取10 m/s²，求：

(1)出发时物体运动的加速度大小；

(2)物体能够运动的最大位移。

答案　(1)20 m/s²　(2)12.5 m

解析　(1)由牛顿第二定律得F－μmg＝ma

出发时推力F＝100 N，物体所受的合力最大，加速度最大，代入数据得a＝20 m/s²。

(2)根据图像得推力对物体做的功等于图线与x轴围成的面积，则推力对物体做功

W＝F₀x₀＝250 J

根据动能定理可得W－μmgx_m＝0－0

解得x_m＝12.5 m。

【思想概述】

数形结合思想注重的是数与形的结合，通过对题目的图形的分析，找到准确的数学表达式，从而更好地解决相关问题。在我们解决物理题目时，数形结合思想的应用能够让题目中各数量间的关系变得更加清楚明了，这样我们在解决物理问题时就能更好地建立方程，从而对题目进行简化，这样更好解决问题。

【方法应用】 在高中物理解题中，数形结合思想应用的主要思路就是将数与形进行良好结合，通过发挥出两者的优势，从而对物理问题进行简化，将各种图形转变为能让学生更好理解的具体数学表达式，这样有助于学生解题。在数形结合思想的应用中，主要有两种解题思路，一种是数的形化，另一种是形的数解。

【题型示例】 (2020·山东九校上学期期末)如图所示，陕西黄土高原上的一个斜坡简化为两个倾角不同的斜面，某物体从斜面顶端由静止开始下滑，物体与两个斜面之间的动摩擦因数均为μ＝，两个斜面倾角分别为α＝53°，β＝30°。图中，v、a、s、t、E_p、E_k分别表示物体速度大小、加速度大小、路程、时间、重力势能和动能，下列图中可能正确的是(　　)

【以题说法】

本题把实景斜坡简化为两个直斜面，对物理情景进行了简化，物体在两个斜面上的运动情景以及图像表示的物理量间关系，这是“形”，根据运动情景和图像找到两个物理量间的数学函数关系，是分析和解决问题的关键，也就是要通过分析物体运动满足的物理规律，应用运动学公式、牛顿第二定律以及动能定理表达式，列出函数式分析两个变量间的关系。

【规范分析】

【答案】　B

【解析】　由于在两个阶段物体都受重力的作用，重力做正功，重力势能减小，故A错误；物体在第一阶段a₁＝gsin α－μgcos α＞0，由动能定理得mgh－μmgscos α＝E_k－0，h＝ssin α，联立得E_k＝mgs(sin α－μcos α)，E_k与s成正比关系。第二阶段，mgsin β－μmgcos β＝ma₂，代入数值解得a₂＝0，速度不变，E_k为常数，故B正确，D错误；第一阶段v＝a₁t即v²＝at²，所以v²与t成非线性关系，故C错误。

1.(动能和动能定理的理解)关于动能定理，下列说法中正确的是(　　)

A.在某过程中，合力做的总功等于各个力单独做功的绝对值之和

B.只要有力对物体做功，物体的动能就一定改变

C.动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动

D.动能定理既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况

【答案】　D

【解析】　合力做的总功等于各个力单独做功的代数和，选项A错误；根据动能定理，决定动能是否改变的是总功，而不是某一个力做的功，选项B错误；动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况，选项C错误，D正确。

2.(动能定理的基本应用)(2021·浙江效实中学高一期中)如图所示，DO是水平面，AB是斜面，初速度为v₀的物体从D点出发沿DBA滑动到顶点A时速度刚好为零；如果斜面改为AC，让该物体从D点出发沿DCA滑动到A点且速度刚好为零，则物体具有的初速度(已知物体与接触面之间的动摩擦因数处处相同且不为零，转弯处无能量损失)(　　)

A.等于v₀              B.大于v₀

C.小于v₀              D.取决于斜面的倾角

【答案】　A

【解析】　设斜面倾角为α，则物体从D点滑动到顶点A的过程中，由动能定理可得

－mgx_AO－μmgx_DB－μmgcos αx_AB＝0－mv。

由几何关系知cos αx_AB＝x_OB

则上式可以简化为

－mgx_AO－μmgx_DB－μmgx_OB＝－mv

而x_DO＝x_DB＋x_OB，

则－mgx_AO－μmg·x_DO＝－mv

从上式可以看出，到达顶点的动能与路径无关，故A正确。

3.(动能定理和图像的结合)(2021·山东潍坊一中高一质检)如图甲所示，一质量为m＝1 kg的物块静止在粗糙水平面上的A点，从t＝0时刻开始，物块在受到按如图乙所示规律变化的水平力F作用下向右运动，第3 s末物块运动到B点时速度刚好为0，第5 s末物块刚好回到A点，已知物块与粗糙水平面之间的动摩擦因数μ＝0.2，(g取10 m/s²)求：

(1)AB间的距离；

(2)水平力F在5 s时间内对物块所做的功。

【答案】　(1)4 m　(2)24 J

【解析】　(1)在3～5 s内物块在水平恒力F作用下由B点匀加速沿直线运动到A点，设加速度为a，AB间的距离为s，则F－μmg＝ma

a＝＝ m/s²＝2 m/s²

s＝at²＝×2×2² m＝4 m。

(2)设整个过程中F做的功为W_F，物块回到A点时的速度为v_A，由动能定理得

W_F－2μmgs＝mv－0

又v＝2as

整理得W_F＝2μmgs＋mas＝24 J。