自主探究（一）　匀变速直线运动及v－t图像

四个做直线运动的物体的v－t图像如图所示。

(1)物体的速度分别随时间怎样变化？

(2)在乙、丙、丁图中，加速度不变的物体是哪个？在乙和丁图中，物体的运动有什么不同？

提示　(1)甲中物体的速度不随时间变化；乙中物体的速度随时间均匀增加；丙中物体的速度随时间均匀减小；丁中物体的速度随时间增加的越来越快。

(2)乙、丙；乙中物体的v－t图线斜率不变，加速度不变，速度随时间均匀增加；丁中物体的v－t图线斜率变大，加速度变大，速度增加得越来越快。

❶定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动，叫作匀变速直线运动。

❷v－t图像：匀变速直线运动的v－t图像是一条倾斜的直线。

❸分类

(1)匀加速直线运动：速度随时间均匀增加。

(2)匀减速直线运动：速度随时间均匀减小。

1.匀变速直线运动的特点

(1)加速度a恒定不变。

(2)v－t图像是一条倾斜直线。

2.对v－t图像的理解

(1)图像的物理意义：v－t图像描述的是物体运动的速度随时间变化的规律。

(2)图像的斜率：v－t图像的斜率表示物体运动的加速度，斜率为正，加速度为正；斜率为负，则加速度为负。

(3)图像的交点与折点

①两条图线的交点：表明在该时刻两物体具有相同的速度。

②图线与纵轴的交点：表示物体的初速度。

③图线与横轴的交点：表示在该时刻速度大小为零。

④图线折点：表示加速度发生变化，可能是大小变化，可能是方向变化，也可能是大小、方向同时变化。

⑤v－t图线是一条曲线，则物体做非匀变速直线运动，物体在某时刻的加速度等于该时刻图线切线的斜率。

图甲中，斜率增大，物体的加速度增大，图乙中斜率减小，物体的加速度减小。

　对匀变速直线运动的理解

【例1】 (2022·湖北宜昌市一中高一期中)关于匀变速直线运动，下列说法正确的是(　　)

A.匀加速直线运动的加速度是不断增大的

B.做匀变速直线运动的物体，它的加速度方向和速度方向总是相同的

C.任意相等时间内，加速度的变化量相等且不为零

D.任意时刻速度的变化率相同

答案　D

解析　匀变速直线运动的加速度是不变的，即任意时刻速度的变化率相同，在任意相等时间内，速度的变化量相等且不为零，故A、C错误，D正确；做匀变速直线运动的物体，它的加速度方向和速度方向之间没有必然联系，可能相同也可能相反，故B错误。

　匀变速直线运动的v－t图像

【例2】甲、乙两物体在同一直线上做匀变速直线运动的速度—时间图像如图所示。由此可知(　　)

A.甲和乙的初速度方向相同，大小之比为3∶1

B.在t＝4 s时，两者的瞬时速度大小相等

C.甲和乙的加速度方向相同，大小之比为3∶1

D.甲和乙的加速度方向相反，大小之比为1∶3

答案　A

解析　甲的初速度为3 m/s，乙的初速度为1 m/s，因此甲和乙的初速度方向相同，大小之比为3∶1，选项A正确；在t＝2 s时，两者的瞬间速度相同，大小都为2 m/s，选项B错误；甲沿正方向做匀减速直线运动，乙沿正方向做匀加速直线运动，甲的加速度为－0.5 m/s²，乙的加速度为0.5 m/s²，因此甲和乙的加速度方向相反，大小之比为1∶1，选项C、D错误。

【训练1】 如图所示，水火箭是一个利用质量比和气压作用而设计的玩具。压缩空气把水从火箭尾部的喷嘴向下高速喷出，在反作用下，水火箭快速上升，飞到一定高度后，在重力的作用下落下来。水火箭运动的v－t图像如图所示，下列说法正确的是(　　)

A.水火箭在0～t₁内从静止出发做加速度增大的加速运动

B.水火箭在t₁时刻到达最高点

C.水火箭在t₂时刻到达最高点

D.水火箭在t₂～t₃内做匀减速直线运动

答案　C

解析　因为v－t图像的斜率等于加速度，可知水火箭在0～t₁内从静止出发做加速度减小的加速运动，选项A错误；水火箭在0～t₂时间内速度均为正值，可知此时间内一直向上运动，t₂时刻到达最高点，选项B错误，C正确；水火箭在t₂～t₃内向下做匀加速直线运动，选项D错误。

自主探究（二）　速度与时间的关系

❶速度与时间的关系式

❷物理意义：做匀变速直线运动的物体，t时刻的速度v等于物体运动开始时的速度v₀加上在整个过程中速度的变化量at。

1.公式v＝v₀＋at的适用条件：只适用于匀变速直线运动。

2.公式v＝v₀＋at的矢量性

公式v＝v₀＋at中的v、v₀、a均为矢量，应用公式解题时，应先选取正方向，一般以v₀的方向为正方向。

(1)若加速度方向与正方向相同，则加速度取正值；若加速度方向与正方向相反，则加速度取负值。

(2)若计算出v为正值，则表示末速度方向与初速度的方向相同；若v为负值，则表示末速度方向与初速度的方向相反。

3.两种特殊情况

(1)当v₀＝0时，v＝at(由静止开始的匀加速直线运动)。

(2)当a＝0时，v＝v₀(匀速直线运动)。

【例3】 某质点做直线运动，其速度与时间的关系式为v＝－3t＋4(式中时间的单位为s，速度的单位为m/s)，以初速度方向为正方向，下列说法正确的是(　　)

A.质点的初速度为1.5 m/s

B.质点的初速度为－4 m/s

C.质点的加速度为3 m/s²

D.质点的加速度为－3 m/s²

答案　D

解析　由匀变速直线运动的速度与时间的关系式v＝v₀＋at＝－3t＋4，得初速度为v₀＝4 m/s，加速度为a＝－3 m/s²，故D正确，A、B、C错误。

【例4】 火车正常行驶的速度是54 km/h，关闭发动机后开始做匀减速直线运动，6 s末的速度是43.2 km/h，求：

(1)火车的加速度；

(2)15 s末的速度大小；

(3)45 s末的速度大小。

答案　(1)0.5 m/s²，方向与火车运动方向相反　(2)7.5 m/s　(3)0

解析　(1)以火车运动的方向为正方向，

初速度v₀＝54 km/h＝15 m/s

末速度v＝43.2 km/h＝12 m/s

由加速度定义式可知

a＝＝ m/s²＝－0.5 m/s²

负号表示方向与火车运动方向相反。

(2)火车从开始减速到停止所用的时间

t＝＝ s＝30 s

火车在15 s末的速度大小为

v₁＝v₀＋at₁＝[15＋(－0.5)×15] m/s

＝7.5 m/s。

(3)由(2)分析可知，火车从开始减速到停止所用的时间为30 s，所以火车在45 s末的速度为零。

【训练2】 纯电动汽车不排放污染空气的有害气体，具有较好的发展前景。某型号的电动汽车在一次刹车测试中，初速度为20 m/s，经过4 s汽车停止运动。若将该过程视为匀减速直线运动，汽车在刹车3 s后速度为(　　)

A.5 m/s          B.10 m/s

C.15 m/s        D.16 m/s

答案　A

解析　汽车的加速度为a＝＝ m/s²＝－5 m/s²，汽车在刹车3 s后速度为v＝v₀＋at＝5 m/s，故A正确。

1．直线运动的v­t图像

(1)匀速直线运动的v­-t图像

匀速直线运动的v­t图像是一条平行于时间轴的直线。如图所示，从图像中可以直接读出v_甲＝5 m/s、v_乙＝－10 m/s，负号表示速度沿着负方向。

 

(2)匀变速直线运动的v­-t图像

匀变速直线运动的v­t图像是一条倾斜的直线。

如图所示：直线a为匀加速直线运动的图像；直线b为匀减速直线运动的图像；直线c表示0～t₁时间内做匀减速直线运动，t₁时刻后反向做匀加速直线运动，由于加速度不变，整个运动过程是匀变速直线运动。

2．由v­-t图像能获取的信息

 

3.应用速度公式v＝v₀＋at解题的思路

(1)选取研究对象和过程。

(2)画出运动草图，标上已知量。

(3)规定正方向，判断各量的正、负，利用v＝v₀＋at由已知条件求解，最后指明所求量的方向。

1.(对匀变速直线运动的理解)物体在做直线运动，则下列对物体运动的描述正确的是(　　)

A.加速度为负值的直线运动，一定是匀减速直线运动

B.加速度大小不变的运动，一定是匀变速直线运动

C.加速度恒定(不为零)的直线运动一定是匀变速直线运动

D.若物体在运动过程中，速度的方向发生改变，则一定不是匀变速直线运动

【答案】　C

【解析】　物体速度为负值，加速度也为负值且保持不变时是匀加速直线运动，A错误；加速度是矢量，加速度大小不变，若方向改变，则加速度是变化的，不是匀变速直线运动，B错误，C正确；速度的方向发生改变，加速度可能保持不变，即可能为匀变速直线运动，例如，物体在做匀减速直线运动中，当速度减小到零后，运动方向变为反向，也为反向的匀加速直线运动，D错误。

2.(速度公式v＝v₀＋at的应用)物体做匀加速直线运动，到达A点时的速度为5 m/s，经3 s到达B点时的速度为14 m/s，再经过4 s到达C点，则它到达C点时的速度为(　　)

A.23 m/s           B.5 m/s

C.26 m/s           D.10 m/s

【答案】　C

【解析】　物体的加速度a＝＝ m/s²＝3 m/s²，到达C点时的速度v_C＝v_B＋at＝(14＋3×4) m/s＝26 m/s，选项C正确。

3.(v－t图像的理解及应用)甲、乙两物体从同一位置出发沿同一直线运动，两物体运动的v－t图像如图所示，下列判断不正确的是(　　)

 

A.甲做匀速直线运动，乙先做匀加速后做匀减速直线运动

B.两物体两次速度相同的时刻分别在1 s末和4 s末

C.乙在前2 s内的加速度为2 m/s²，2 s后的加速度为-1 m/s²

D.2 s后，甲、乙两物体的速度方向相反

【答案】　D

【解析】　由v－t图像可知，甲以2 m/s的速度做匀速直线运动，乙在0～2 s内做匀加速直线运动，加速度a₁＝2 m/s²，在2～6 s内做匀减速直线运动，加速度a₂＝－1 m/s²，选项A、C正确；t₁＝1 s和t₂＝4 s时两物体速度相同，选项B正确；0～6 s内甲、乙两物体的速度方向都沿正方向，选项D错误。