学习目标要求

1.知道简谐运动的振幅、周期、频率、相位的概念。

2.理解周期和频率的关系。

3.知道振动物体的固有周期和固有频率，并能理解其与振幅无关。

4.会写出简谐运动的表达式，并理解各物理量的意义。

核心素养和关键能力

1.核心素养

(1)用数学表达式描述简谐运动。

(2)图像与运动情境相结合的思维方式。

(3)充分利用“周期性和对称性”研究简谐运动。

2.关键能力

“对称性”思维能力；用数学方法分析物理问题的能力。

自主探究（一）　描述简谐运动的物理量

❶振幅(A)

(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。

(2)物理意义

表示振动幅度大小的物理量，是标量(选填“矢量”或“标量”)。振动物体运动的范围是振幅的两倍。

❷全振动

一个完整的振动过程，称为一次全振动。不管从哪儿作为开始研究的起点，振动物体完成一次全振动的时间总是相同的。此时，位移、速度第一次同时与初始状态相同，即物体从同一方向回到出发点。

❸周期(T)和频率(f)

(1)周期T：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期。单位：秒(s)。

(2)频率f：物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率。单位：赫兹，简称赫，符号是Hz。

(3)周期T与频率f的关系式：f＝。

(4)ω：一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，ω＝＝2πf。

【思考】

如图所示为理想弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′点关于O点对称。

(1)振子从某一时刻经过O点，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？

(2)先后将振子从O点拉到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？

提示　(1)不是。经过一个周期振子必须从同一方向经过O点，即经过一个周期，位移、速度第一次与初始时刻相同。

(2)周期相同。振动的周期决定于振动系统本身，与振幅无关；位移相同，均为零；路程不相同，一个周期内振子通过的路程为四个振幅。

1．全振动的三个特征

(1)物理量特征：经过一次全振动，位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。

(2)时间特征：经过一次全振动，振子历时一个周期。

(3)路程特征：经过一次全振动，振子的路程为振幅的4倍。

2．振幅与三个量的关系

(1)振幅与位移的区别

①振幅等于最大位移的数值。

②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。

③位移是矢量，振幅是标量。

(2)振幅与路程的关系

①振动物体在一个周期内的路程为4倍振幅。

②振动物体在半个周期内的路程为2倍振幅。

③振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅。

(3)振幅与周期的关系

一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。　　　　　　　　　　　　　　

【例1】 一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1 s，质点通过B点后，再经过1 s，第二次通过B点，在这2 s内，质点的总路程是

12 cm，则质点振动的周期和振幅分别可能为    (　　)

A．2 s，6 cm            B．4 s，6 cm

C．4 s，9 cm            D．2 s，8 cm

【答案】　B

【解析】　简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过A、B两点，则可判定这两点关于平衡位置O点对称，所以质点由A到O时间与由O到B的时间相等。

那么从平衡位置O到B点的时间t₁＝ s

因过B点后再经过t＝1 s质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B点

则有从B点到最大位置的时间t₂＝ s

因此，质点振动的周期是

T＝4×(t₁＋t₂)＝4 s

质点总路程的一半，即为振幅

所以振幅为A＝ cm＝6 cm

故B正确，A、C、D错误。

【训练1】 如图所示，小球在B、C之间做简谐运动，O为BC的中点，B、C间的距离为10 cm，则下列说法正确的是    (　　)

A．小球的最大位移是10 cm

B．只有在B、C两点时，小球的振幅是5 cm，在O点时，小球的振幅是0

C．小球由O向B运动过程中，它的振幅变大

D．从任意时刻起，一个完整的振动过程内小球经过的路程都是20 cm

【答案】　D

【解析】　小球位移的起点是O点，小球经过B点或C点时位移最大，最大位移的大小为5 cm，故A错误；小球做简谐运动，振幅不变，由题意知，振幅A＝5 cm，故B、C错误；根据对称性和周期性可知，从任意时刻起，一个完整的振动过程内小球经过的路程都是4倍振幅，即4A＝4×5 cm＝20 cm，故D正确。

【训练2】如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是  (　　)

A．物体的振动周期是2×10^－2 s

B．第2个10^－2 s内物体的位移是10 cm

C．物体的振动频率为0.25 Hz

D．物体的振幅是10 cm

【答案】　D

【解析】　由题图可知，物体完成一次全振动需要的时间为4×10^－2 s，故周期为T＝4×10^－2 s，A错误；在第2个10^－2 s内，即在1×10^－2 s到2×10^－2 s内物体由正向的10 cm处到达平衡位置，故位移为x＝0－10 cm＝－10 cm，B错误；频率f＝＝ Hz＝25 Hz，C错误；由题图可知，物体的最大位移为10 cm，则振幅为10 cm，故D正确。

自主探究（二）　相位、简谐运动的表达式

❶相位

(1)ωt＋φ代表做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。物理学中把(ωt＋φ)叫作相位。φ叫作初相。

(2)如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ₁和φ₂，当φ₁＞φ₂时，它们的相位差为φ₁－φ₂。

❷简谐运动的表达式为x＝Asin(t＋φ₀)。振幅、周期、初相位是描述简谐运动特征的物理量。

1．相位差

频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ₁－φ₂(φ₁＞φ₂)。

若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相；

若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。

2．简谐运动表达式x＝Asin(t＋φ₀)的理解

(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。

(2)从表达式x＝Asin(ωt＋φ)体会简谐运动的周期性。

当Δφ＝(ωt₂＋φ)－(ωt₁＋φ)＝2nπ时，即Δt＝t₂－t₁＝＝nT，振子位移相同，每经过一个周期T完成一次全振动。

【思考】 两个简谐运动有相位差Δφ，说明了什么？甲、乙两个简谐运动的相位差为π，意味着什么？

提示　两个简谐运动有相位差，说明其步调不相同。甲、乙两个简谐运动的相位差为π，意味着乙(甲)总比甲(乙)滞后个周期或次全振动。

【例2】 (2022·山东省实验中学检测)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin 2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s。则 (　　)

A．弹簧振子的振幅为0.2 m

B．弹簧振子的周期为1.25 s

C．在t＝0.2 s时，振子的加速度为零

D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2sin(2.5πt＋)(m)，则A滞后B

【答案】　D

【解析】　由振动方程可知振幅为0.1 m，圆频率ω＝2.5π rad/s，故周期T＝＝ s＝0.8 s，故A、B错误；在t＝0.2 s时，x＝0.1 m，即振子的位移最大，加速度最大，故C错误；两振动的相位差Δφ＝φ₂－φ₁＝2.5πt＋－2.5πt＝，即B超前A ，或者说A滞后B ，故D正确。

【训练3】 (2022·福建泉州月考)有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是   (　　)

A．x＝8×10^－3sin(4πt＋)m

B．x＝8×10^－3sin(4πt－)m

C．x＝8×10^－3sin(4πt＋)m

D．x＝8×10^－3sin(t＋)m

【答案】　A

【解析】　由题可知，A＝0.8 cm＝8×10^－3 m，T＝0.5 s，则ω＝＝4π rad/s，初始时刻具有负方向的最大加速度，则初位移x₀＝0.8 cm，初相位φ₀＝，得弹簧振子的振动方程为x＝8×10^－3sin(4πt＋) m，A正确。

自主探究（三）　简谐运动的周期性与对称性

如图所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD。

1．时间的对称

(1)物体来回通过相同两点间的时间相等，即t_DB＝t_BD。

(2)物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中t_DB＝t_BD＝t_CA＝t_AC，t_OD＝t_DO＝t_OC＝t_CO。

2．速度的对称

(1)物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。

(2)物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。

3．位移的对称

(1)物体经过同一点(如C点)时，位移相同。

(2)物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反。

　　　　　　　　　　　　　　

【例3】一弹簧振子做简谐运动，O点为平衡位置，当它经过O点时开始计时，经过0.3 s第一次到达M点，再经过0.2 s第二次到达M点，则弹簧振子第三次到达M点还要经过的时间可能为    (　　)

A. s                 B. s 

C．1.4 s              D．1.6 s

【答案】　C

【解析】　振子通过O点的速度方向有两种可能，一种是从O指向M，另一种是从O点背离M。利用简谐运动的对称性找出周期与运动时间的关系。

如图甲所示，O为平衡位置，设OB(OC)代表振幅，若振子开始从平衡位置向M运动，从O到C所需时间为，因为简谐运动具有对称性，所以振子从M到C所用时间和从C到M所用时间相等，故＝0.3 s＋＝0.4 s，解得T＝1.6 s。则振子第三次到达M点还要经过的时间为t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s。

如图乙所示，若振子一开始从平衡位置背离M向B运动，设M′与M关于O点对称，则振子从M′经B回到M′所用的时间与振子从M经C回到M所用的时间相等，即0.2 s。振子从O到M′和从M′到O及从O到M所需时间相等，

为＝ s。

则振子第三次到达M点还要经过的时间为t′＝0.2 s＋×4 s＝ s。故C正确

(1)周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题。

(2)对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题。　　　　

【训练4】 (2022·吉林八校期中联考)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s 时，振子速度第二次变为－v，已知B、C之间的距离为25 cm。

(1)求弹簧振子的振幅A；

(2)求弹簧振子的振动周期T和频率f。

【答案】　(1)12.5 cm　(2)1 s　1 Hz

【解析】　(1)弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，所以振幅是B、C之间距离的一半，所以A＝ cm＝12.5 cm。

 (2)由简谐运动的对称性可知从P到B的时间与从B返回到P的时间是相等的，所以t_BP＝ s＝0.1 s

同理可知

t_PO＝ s＝0.15 s

又t_BP＋t_PO＝

可得T＝1 s

则 f＝＝1 Hz

1．(描述简谐运动的物理量)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是(　　)

A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处

B．周期和频率的乘积是一个常数

C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小

D．做简谐运动的物体，其频率与振幅成正比

【答案】　B

【解析】　振幅是标量，选项A错误；周期与频率互为倒数，即Tf＝1，选项B正确；简谐运动的周期与振幅没有关系，周期的长短由系统本身决定，这就是固有周期，所以选项C、D错误。

2．(描述简谐运动的物理量)如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为8 cm，小球完成30次全振动所用时间为60 s，则 (　　)

A．振动周期是2 s，振幅是8 cm

B．振动频率是2 Hz

C．小球完成一次全振动通过的路程是8 cm

D．小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm

【答案】　D

【解析】　由题意可知T＝ s＝2 s，A＝ cm＝4 cm，A错误；频率f＝＝ Hz＝0.5 Hz，B错误；小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即4×4 cm＝

16 cm，C错误；小球在3 s 内通过的路程为s＝×4A＝×4×4 cm＝24 cm，D正确。

3．(简谐运动的表达式)有两个简谐运动，其表达式分别是x₁＝4 sin (100πt＋)cm，x₂＝5 sin (100πt＋)cm，下列说法正确的是(　　)

A．它们的振幅相同                           B．它们的周期不相同

C．它们的相位差恒定                        D．它们的振动步调一致

【答案】　C

【解析】　它们的振幅分别是4 cm、5 cm，选项A错误；ω都是100π rad/s，所以周期(T＝)都是 s，选项B错误；由Δφ＝(100πt＋)－(100πt＋)＝得相位差恒定，选项C正确；Δφ≠0，即振动步调不一致，选项D错误。

4．(简谐运动的周期性与对称性)一弹簧振子做简谐运动，则以下说法不正确的是    (　　)

A．振子的加速度方向始终指向平衡位置

B．已知振动周期为T，若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相同

C．若t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度相等，则Δt一定为振动周期的整数倍

D．振子的速度相等时，弹簧的长度不一定相等

【答案】　C

【解析】　振子的加速度方向始终指向平衡位置，故A正确；若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子的位移相同，加速度也相同，故B正确；从平衡位置再回到平衡位置，经历的时间最短为，弹簧的长度相等，故C错误；关于平衡位置对称的两个位置，振子的速度相等，弹簧的长度不一定相等，故D正确。