自主探究（一）　共点力平衡的条件

如图所示，著名景点——黄山飞来石独自静止于悬崖之上，它受哪些力作用？这些力大小、方向有何关系？它们的合力有何特点？

提示　受重力和悬崖对它的作用力。重力方向竖直向下、悬崖对它的作用力方向竖直向上，二力等大、反向，合力为零。

❶共点力：力的作用线或作用线的反向延长线交于同一点的力。

❷平衡状态：物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态。我们就说这个物体处于平衡状态。

❸共点力平衡的条件：在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。

【思考】 物体做竖直上抛运动，当运动到最高点时速度为零，此时物体是否处于平衡状态？

提示　物体在最高点时速度为零，但加速度不为零，不是平衡状态。

1.两种平衡情形：静止和匀速直线运动状态。

2.平衡条件的表达式：F_合＝0

3.由平衡条件得出的三个结论

【例1】 光滑水平面上，某物体在水平方向两个力的作用下处于静止状态，将其中一个力F在大小不变的情况下，将方向在水平面内逆时针转过90°，保持另一个力的大小、方向都不变，则欲使物体仍能保持静止状态，必须再施加力的大小为(　　)

A.F              B.F

C.2F             D.3F

【答案】　B

【解析】　物体水平方向受到两个力的作用而处于静止状态，由物体的平衡条件可知，力F与另一个力一定等大反向，当力F转过90°时，力F与另一个力的合力大小为F，因此，欲使物体仍能保持静止状态，必须再施加一个大小为F的力，故B项正确。

【训练1】下面关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是(　　)

A.如果物体的运动速度为零，则必处于平衡状态

B.如果物体的运动速度大小不变，则必处于平衡状态

C.如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向所受的合力都必为零

D.如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相同

【答案】　C

【解析】　物体运动速度为零时不一定处于平衡状态，选项A错误；物体运动速度大小不变、方向变化时，物体不做匀速直线运动，一定不是处于平衡状态，选项B错误；物体处于平衡状态时，所受合力为零，物体沿任意方向所受的合力都必为零，选项C正确；物体受到三个共点力作用而处于平衡状态时，所受合力为零，则任意两个共点力的合力与第三个力等大、反向，选项D错误。

自主探究（二）　静态平衡的分析方法

1.常用方法

2.解题步骤

(1)明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)。

(2)分析研究对象所处的运动状态，判定其是否处于平衡状态。

(3)对研究对象进行受力分析，并画出受力示意图。

(4)建立合适的坐标系，应用共点力平衡的条件，选择恰当的方法列出平衡方程。

(5)求解方程，并讨论结果。

【例2】 在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示。仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球。无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度。风力越大，偏角越大。通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力。那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？(重力加速度为g)

【答案】　F＝mgtan θ

【解析】　选取金属球为研究对象，它受到三个力的作用，金属球处于平衡状态，这三个力的合力为零。

法一　力的合成法

如图甲所示，风力F和拉力F_T的合力与重力等大反向，由平行四边形定则可得

F＝mgtan θ。

法二　正交分解法

以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立坐标系，如图乙所示。则水平方向的合力F_x合和竖直方向的合力F_y合分别等于零，即

F_x合＝F_Tsin θ－F＝0

F_y合＝F_Tcos θ－mg＝0

解得F＝mgtan θ。

【训练2】如图所示，重物的质量为m，轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的，平衡时AO是水平的，BO与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，AO的拉力F₁和BO的拉力F₂的大小分别是(　　)

A.F₁＝mgcos θ        B.F₁＝

C.F₂＝mgsin θ         D.F₂＝

【答案】　B

【解析】

　法一　合成法

由力的平行四边形定则，作出F₁、F₂的合力F₁₂，如图所示，又考虑到F₁₂＝mg，由几何关系得F₁＝，F₂＝。

法二　正交分解法

将O点受的力沿水平方向、竖直方向正交分解，如图(a)所示。由力的平衡条件得F₂cos θ－F₁＝0，F₂sin θ－mg＝0，解得F₂＝，F₁＝。

(也可以用效果分解法求解，同学们可以试一试。)

法三　矢量三角形法

画出受力分析示意图如图(b)所示。再将表示三个力的有向线段平移到一个三角形中，三力构成首尾相接的封闭的三角形，如图(c)所示。则由几何关系可知F₁＝，F₂＝。

【例3】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为F_N，OP与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g。下列关系正确的是(　　)

A.F＝          B.F＝mgtan θ

C.F_N＝        D.F_N＝mgtan θ

【答案】　A

【解析】

　(1)正交分解法

对小滑块进行受力分析，

如图甲所示，将F_N沿水平方向和竖直方向进行分解，根据平衡条件列方程。

        甲

水平方向有：F_Ncos θ＝F

竖直方向有：F_Nsin θ＝mg

联立解得F＝，F_N＝。

 (2)合成法

滑块受力如图乙，

         乙

由平衡条件知＝tan θ

＝sin θ

所以有F＝，F_N＝F_N′＝。

(3)矢量三角形法

如图丙所示，滑块受到的三个力组成封闭的三角形，解直角三角形得

F＝，F_N＝。

          丙

      自主探究（三）　“定杆”与“动杆”、“活结”与“死结”问题

1.“动杆”和“定杆”的比较

(1)“动杆”：对于一端有转轴或有铰链的轻杆，其提供的弹力方向一定是沿着轻杆的方向。

(2)“定杆”：一端固定的轻杆(如一端“插入”墙壁或固定于地面)，其提供的弹力不一定沿着轻杆的方向，力的方向只能根据具体情况进行受力分析。根据平衡条件确定杆中的弹力的大小和方向。

2.“活结”和“死结”的比较

(1)“活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线。

(2)“死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。

【例3】 如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10 kg的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HP一端用铰链固定在竖直墙上，另一端P通过轻绳EP拉住，EP与水平方向也成30°角，轻杆的P点用轻绳PQ拉住一个质量也为10 kg的物体。g取10 m/s²，求：

(1)轻绳AC段的张力F_AC与轻绳EP的张力F_EP之比；

(2)横梁BC对C端的支持力；

(3)轻杆HP对P端的支持力。

【答案】　(1)1∶2　(2)100 N，方向与水平方向成30°角斜向右上方　(3)173 N，方向水平向右

【解析】　分别对C点和P点受力分析如图所示

(1)图甲中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M₁的物体，物体处于平衡状态，绳AC段的拉力F_AC＝F_CD＝M₁g

图乙中则有F_EPsin 30°＝F_PQ＝M₂g

解得F_EP＝2M₂g

所以得＝＝。

(2)图甲中，根据几何关系得

F_C＝F_AC＝M₁g＝100 N

方向与水平方向成30°角斜向右上方。

(3)图乙中，根据平衡方程有

F_EPsin 30°＝M₂g

F_EPcos 30°＝F_P

可得F_P＝＝M₂g＝173 N，方向水平向右。

【训练3】 如图所示，水平横梁一端插在墙壁内，另一端装一小滑轮B。一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝20 kg的重物，∠CBA＝30°，则滑轮受到绳子的作用力大小为(g取10 N/kg)(　　)

A.100 N         B.100 N

C.200 N         D.200 N

【答案】　C

【解析】　如图所示，以滑轮为研究对象，悬挂重物的绳的拉力大小F＝mg＝200 N，故小滑轮受到绳的作用力沿BC、BD方向，大小都是200 N。由几何关系得，∠CBD＝120°，∠CBE＝∠DBE＝60°，即△CBE是等边三角形，故F_合＝200 N。

整体法和隔离法　动态平衡问题

1.整体法和隔离法在平衡问题中的应用

　当系统处于平衡状态时，组成系统的每个物体都处于平衡状态，选取研究对象时要注意整体法和隔离法的结合。一般地，当求系统内部间的相互作用时，用隔离法；求系统受到的外力时，用整体法，具体应用中，应将这两种方法结合起来灵活运用。

【例1】 如图所示，粗糙水平地面上放置一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙壁之间再放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态。已知A、B的质量分别为M和m，圆球B和半圆的柱状物体A的半径均为r，已知A的圆心到墙角的距离为2r，重力加速度为g。求：

(1)物体A所受地面的支持力大小；

(2)物体A所受地面的摩擦力。

【答案】　(1)(M＋m)g　(2)mg，方向水平向左

【解析】　(1)对A、B整体受力分析，如图甲所示，由平衡条件得F_NA＝(M＋m)g。

(2)对B受力分析，如图乙所示

由几何关系得sin θ＝＝，θ＝30°

由平衡条件得

F_NABcos θ－mg＝0，F_NABsin θ－F_NB＝0，

联立解得F_NB＝mgtan θ＝mg

由整体法可得物体A所受地面的摩擦力F_f＝F_NB＝mg，方向水平向左。

整体法和隔离法的选择原则

(1)当分析系统所受外力时，可以采用整体法来分析外界对系统的作用力。

(2)当分析系统内各物体间的相互作用时，一般采用隔离法且选择受力较少的物体为研究对象。

(3)整体法的优点在于减少受力分析的个数，但不能分析内力；隔离法的优点是对多个物体受力了解比较清楚，但计算时有点麻烦。

【训练1】 用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图所示。对小球a持续施加一个水平向左的恒力，并对小球b持续施加一个水平向右的同样大小的恒力，最后达到平衡状态。下列选项中表示平衡状态的图可能是(　　)

【答案】　A

【解析】　将两球和两球之间的细线看成一个整体，对整体受力分析如图所示，整体达到平衡状态。根据平衡条件可知整体受到a球上方的细线的拉力F_线的大小等于a、b的重力大小之和，方向沿竖直方向，故此细线必定沿竖直方向，故A正确。

2.动态平衡问题

1.动态平衡：平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向缓慢变化，所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类题型。

2.处理动态平衡问题的方法

(1)解析法

①列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式。

②根据已知量的变化情况确定未知量的变化情况。

(2)图解法

①适用情况：物体只受三个力作用，且其中一个力的大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。

②一般步骤：首先对物体进行受力分析，根据三角形定则将表示三个力的有向线段依次画出构成一个三角形(先画出大小方向均不变的力，再画方向不变的力，最后画大小、方向均变化的力)，由题意改变方向变化的力的方向。由动态图解可知力的大小变化情况。

(3)相似三角形法

①适用情况：在物体所受的三个力中，一个力是恒力，大小、方向均不变；另外两个力是变力，大小、方向均改变，且方向不总是相互垂直。

②解题技巧：找到力变化过程中的几何关系，利用力的矢量三角形与几何三角形相似，相似三角形对应边成比例，通过分析几何三角形边长的变化得到表示力的边长的变化，从而得到力的变化。

【例2】如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A的圆半径为球B的半径的3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态。设墙壁对B的支持力为F₁，A对B的支持力为F₂，若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态。则F₁、F₂的变化情况分别是(　　)

A.F₁减小              B.F₁增大

C.F₂增大             D.F₂不变

【答案】　A

【解析】

　法一　解析法

以球B为研究对象，受力分析如图甲所示，可得出F₁＝Gtan θ，F₂＝，当A向右移动少许后，θ减小，则F₁减小，F₂减小，故A正确。

法二　图解法

先根据平衡条件和平行四边形定则画出如图乙所示的矢量三角形，在θ角减小的过程中，从图中可直观地看出，F₁、F₂都减小，故A正确。

【训练2】 质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上，用水平力F拉着绳的中点O，使OA段绳偏离竖直方向一定角度，如图所示。设绳OA段拉力的大小为F_T，若保持O点位置不变，则当力F的方向顺时针缓慢旋转至竖直方向的过程中(　　)

A.F先变大后变小，F_T逐渐变小

B.F先变大后变小，F_T逐渐变大

C.F先变小后变大，F_T逐渐变小

D.F先变小后变大，F_T逐渐变大

【答案】　C

【解析】　对结点O受力分析如图所示，当保持O点位置不变，则当力F的方向顺时针缓慢旋转至竖直方向的过程中，由图可知F先减小后增大，F_T一直减小，故C正确。

【训练3】 如图所示，AC是上端带光滑轻质定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重力为G的物体，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮，用力F拉绳，开始时∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°。此过程中，轻杆BC所受的力(　　)

A.逐渐减小            B.逐渐增大

C.大小不变           D.先减小后增大

【答案】　C

【解析】　以结点B为研究对象，分析受力情况，如图所示，根据平衡条件可知，F、F_N的合力F_合与G大小相等、方向相反。根据相似三角形得＝，且F_合＝G，则有F_N＝G，现使∠BCA缓慢变小的过程中，AC、BC不变，即F_N不变，则轻杆BC所受的力大小不变，C正确，A、B、D错误。

1.(共点力平衡的条件理解)下列运动项目中的运动员没有处于平衡状态的是(　　)

A.体操运动员双手握住单杠吊在空中不动时

B.蹦床运动员在空中上升到最高点时

C.举重运动员在举起杠铃后不动的那段时间内

D.游泳运动员仰卧在水面静止不动时

【答案】　B

【解析】　物体处于平衡状态的条件是F_合＝0，物体处于静止或匀速直线运动状态。B项中运动员上升到最高点时v＝0，F_合≠0，不会静止在最高点，故不是平衡状态，故选B。

2.(静态平衡问题的分析)(2022·浙江萧山中学高一检测)如图所示，一本质量为m的书放置在倾角为θ的倾斜桌面上，此书有三分之一部分伸出桌面外，桌面与书本之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)

A.书本受到的支持力大小mgcos θ

B.书本受到的摩擦力大小一定为μmgcos θ

C.桌子对书本的作用力方向一定竖直向上

D.若将书本伸出桌面部分变为四分之一，书本所受支持力会增大

【答案】　C

【解析】　书受到的支持力大小为mgcos θ，故A错误；书受到的静摩擦力大小一定为mgsin θ，不一定达到最大静摩擦力，所以不一定为μmgcos θ，故B错误；桌子对书的作用力即支持力和静摩擦力，它们的合力一定与重力等大、反向、共线，即方向一定竖直向上，故C正确；若将书本伸出桌面部分变为四分之一，书本所受支持力不变，故D错误。

3.(“定杆”与“动杆”、“活结”与“死结”问题)甲图中，轻杆AB一端与墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为30°，在B点下方悬挂质量为m的重物。乙图中，轻杆CD一端插入墙内，另一端装有小滑轮，现用轻绳绕过滑轮挂住质量为m的重物，绳、杆之间夹角也为30°。甲、乙中杆都垂直于墙，则下列说法中正确的是(　　)

A.两根杆中弹力一样大

B.甲图中杆的弹力更大

C.两根杆中弹力方向均沿杆方向

D.若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则物体加重时，乙中轻绳更容易断裂

【答案】　B

【解析】　图甲中B点受力如图，杆受力沿杆，两端绳中拉力大小不同，

由平行四边形定则，可知F_N1＝，F_T1＝

图乙中D点受力如图，杆受力不沿杆，绳中两个拉力大小相同。可知

F_N2＝F_T1′＝F_T2′＝mg

综合以上分析，易知F_N1>F_N2。

故A、C错误，B正确；

若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则物体加重时，甲、乙图中绳子拉力大小关系如下

F_T1＝>mg＝F_T1′

故甲中轻绳更容易断裂，故D错误。