1.理解匀强电场中电势差和电场强度的关系U＝Ed或者E＝，了解其适用条件。

2.会用匀强电场中电势差和电场强度的关系定性分析和定量计算电场强度。

3.掌握等分法求解电场强度的思路和方法。

科学思维

(1)等分法分析和求解电场强度。

(2)匀强电场中综合问题的分析推理能力。

自主探究（一）　U_AB＝Ed的理解和应用

■情境导入

如图所示的匀强电场中有A、B两点，A、B两点连线与电场线平行，B、C连线垂直电场线，已知场强大小为E，A、B两点间的电势差为U_AB，A、B间距离为d，电荷q从A点移动到B点，回答下列问题：

(1)电荷所受静电力是多少？从力和位移的角度计算静电力所做功的大小。通过A、B间的电势差计算静电力做功的大小；

(2)比较两次计算的功的大小，电势差与电场强度有何关系？

(3)在图中，如果将电荷从A点移动到C点，再利用(1)问的推导过程试着推导，能获得何结论？(已知AB与AC的夹角为θ)

答案　(1)F＝qE　W_AB＝Fd＝qEd　W_AB＝qU_AB

(2)U_AB＝Ed

(3)W_AC＝qELcos θ＝qEd，W_AC＝qU_AC，U_AC＝Ed

■归纳拓展

1.关系式表明了电场强度与电势差的关系

(1)大小关系：由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，电场强度是电势差对空间位置的变化率，电势随空间变化的快慢，反映了电场强度的大小。

(2)方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。

2.U_AB＝Ed的两个推论

(1)在匀强电场中，沿任意一个方向，电势变化都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等。

(2)在匀强电场中，相互平行且长度相等的线段两端点的电势差相等。

3.匀强电场中两点间电势差的三种求法

(1)应用定义式U_AB＝φ_A－φ_B来求解。

(2)应用关系式U_AB＝来求解。

(3)应用关系式U_AB＝Ed来求解。

【例1】 如图所示，在匀强电场中，将一电荷量为2×10^－4 C的负电荷由A点移到B点，其电势能增加了0.2 J，已知A、B两点间距离为2 cm，两点连线与电场方向成60°角，求：

(1)电荷由A移到B的过程中，电场力所做的功W_AB；

(2)A、B两点间的电势差U_AB；

(3)该匀强电场的电场强度E。

答案　(1)－0.2 J　(2)1 000 V　(3)1×10⁵ V/m

解析　(1)因负电荷由A移到B的过程中，负电荷的电势能增加了ΔE＝0.2 J，所以这个过程中电场力对负电荷所做的功W_AB＝－ΔE＝－0.2 J；

(2)A、B两点间的电势差

U_AB＝＝ V＝1 000 V；

(3)匀强电场的电场强度

E＝＝ V/m＝1×10⁵ V/m。

【针对训练1】 如图所示，三角形ABC所在平面与匀强电场方向平行，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，＝20 cm。把一个电荷量q＝1×10^－5 C的正电荷从A点移到B点，电场力做的功为零；从B点移到C点，电场力做的功为－1.73×

10^－3 J，则该匀强电场的场强大小和方向是(　　)

A.865 V/m，垂直AC向左

B.865 V/m，垂直AC向右

C.1 000 V/m，垂直AB斜向上

D.1 000 V/m，垂直AB斜向下

答案　D

解析　把电荷q从A点移到B点，电场力做的功为零，说明A、B两点在同一等势面上，由于该电场为匀强电场，等势面应为平面，故题图中直线AB是一条等势线，场强方向应垂直于等势线，选项A、B错误；U_BC＝＝ V＝－173 V，B点电势比C点电势低173 V，因沿场强方向电势降低，所以场强方向垂直于AB斜向下，场强大小E＝＝ V/m＝1 000 V/m，因此选项D正确，C错误。

自主探究（二）　非匀强电场中电势差与电场强度的定性分析

■情境导入

大家知道，在电场中沿着电场线方向电势降低，如图所示，ab＝bc，若a点电势为8 V，b点电势为6 V，思考：c点电势为4 V 吗？请说明理由。

【答案】　不一定，a、b、c为某条电场线上的三个点，且ab＝bc，由于不知电场的性质，所以电势差U_ab与U_bc的大小不能确定。

■归纳拓展

1.U_AB＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题。由E＝ 可以得出结论：在等差等势面中等势面越密的地方场强就越大。

2.在同一幅等势面图中，若相邻等势面间的电势差取一定值，相邻等势面间的间距越小(等势面越密)，场强E＝就越大。

实例分析：如图甲所示，在等差等势面中等势面越密的地方场强就越大；如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故U_ab<U_bc。

【例2】图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷。一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点。则该粒子(　　)

A.带负电

B.在c点受力最大

C.在b点的电势能小于在c点的电势能

D.由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化

【答案】　D

【解析】　物体做曲线运动时，合力方向指向轨迹的凹侧，说明粒子带正电，A错误；由库仑定律F＝k知离圆心越远，粒子所受的力越小，B错误；粒子从b点到c点过程中，静电力做正功，电势能减小，C错误；点电荷的等势面与虚线重合，依题意得U_ab>U_bc，又静电力做功W＝qU，则W_ab>W_bc，由动能定理得粒子由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化，D正确。

【针对训练2】如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN。P点在y轴右侧，MP⊥ON。则下列说法正确的是(　　)

A.M点的电势等于P点的电势

B.将负点电荷由O点移动到P点，电场力做正功

C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差

D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差

【答案】　D

【解析】　根据电场线和等势面的关系，可以判断出M点的电势比P点的电势高，A错误；将负点电荷由O点移到P点，电场力做负功，B错误；根据U＝Ed进行定性分析可知U_MN<U_OM，C错误，D正确。

自主探究（三）　等分法确定等势线和电场线

1.两个重要推论

结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φ_C＝，如图甲所示。

结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则U_AB＝U_CD(或φ_A－φ_B＝φ_C－φ_D)，同理有U_AC＝U_BD，如图乙所示。

2.确定电场方向的方法

先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面。

【例3】 如图所示，在匀强电场中有一直角三角形OBC，电场方向与三角形所在平面平行，若三角形三顶点O、B、C处的电势分别为φ_O、φ_B、φ_C，已知φ_O＝0 V，φ_B ＝3 V，φ_C ＝6 V，OB＝4 cm，OC＝6 cm。则下列说法中正确的是(　　)

A.匀强电场中电场强度的大小为125 V/m

B.匀强电场中电场强度的大小为200 V/m

C.匀强电场中电场强度的方向斜向下与OC夹角为30°

D.一个电子由C点运动到O点再运动到B点的过程中电场力做功3 eV

【答案】　A

【解析】　如图根据匀强电场的特点，OC中点D的电势为3 V，则BD为一条等势线，电场方向如图，电场强度的方向斜向下与OC夹角tan θ＝＝，θ＝37°

由几何关系得，O到BD的距离d＝2.4 cm，在匀强电场

E＝＝ V/m＝125 V/m

故A正确，B、C错误；根据W＝qU可知一个电子由C点运动到O点再运动到B点的过程中电场力做功为W＝－e×3 V＝－3 eV，故D错误。

【针对训练3】 (2021·陕西西安一中高二期末)如图所示，在平行于匀强电场的平面内，有一个边长为6 cm 的等边三角形ABC，A、B、C三点电势分别为8 V、－4 V和2 V，D为靠近A点的AB线段的三等分点。下列说法正确的是(　　)

A.电场强度为400 V/m

B.电场线方向与AB平行，方向指向A

C.电子在A点的电势能小于在B点的电势能

D.若将一电子从C点移至D点，电场力做功为－2 eV

【答案】　C

解析　匀强电场中AB的中点F点的电势为

φ_F＝＝ V＝2 V

则F、C为等电势点，FC为等势线，则AB为一电场线，方向由A到B，则

匀强电场的场强为E＝＝ V/m＝200 V/m

方向由A到B，故A、B错误；电子带负电，由E_p＝qφ知其在电势高处电势能小，故C正确；D点的电势为φ_D＝8 V－ V＝4 V

则U_CD＝－2 V，将一电子从C点移至D点，电场力做功为W＝－eU_CD＝2 eV，故D错误。

1.(U_AB＝Ed的理解和应用)如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ。若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100 V/m，则O、P两点的电势差可表示为(　　)

A.U_OP＝－10sin θ(V)            B.U_OP＝10sin θ(V)

C.U_OP＝－10cos θ(V)            D.U_OP＝10cos θ(V)

【答案】　A

【解析】　在匀强电场中，U_OP＝－ERsin θ＝－10sin θ(V)，故A正确。

2.(非匀强电场中电势差和电场强度的定性分析)如图所示，a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φ_a、φ_b、φ_c和E_a、E_b、E_c分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以判定(　　)

A.φ_a＞φ_b＞φ_c                  B.E_a＞E_b＞E_c

C.φ_a－φ_b＝φ_b－φ_c             D.E_a＝E_b＝E_c

【答案】　A

【解析】　电场线是直线的电场，通常有如图所示的几种情况

题中给出的一条电场线，不一定是哪一种，因此B、C、D均不正确；其中在前三个图中可由U＝Ed定性分析。不论是何种情况的电场，沿着电场线方向电势总是降低的，φ_a＞φ_b＞φ_c，故A正确。

3.(等分法确定等势线和电场线)如图所示，在匀强电场中，将带电荷量q＝－6×10^－6 C 的电荷从电场中的A点移到B点，克服电场力做了2.4×10^－5 J 的功，再从B点移到C点，电场力做了1.2×10^－5 J 的功。

(1)求A、B两点间的电势差U_AB和B、C两点间的电势差U_BC；

(2)如果规定B点的电势为零，则A点和C点的电势分别为多少？

(3)作出过B点的一条电场线。

【答案】　见解析

【解析】　(1)U_AB＝＝ V＝4 V

U_BC＝＝ V＝－2 V

(2)U_AB＝φ_A－φ_B，U_BC＝φ_B－φ_C

又φ_B＝0

故φ_A＝4 V，φ_C＝2 V

(3)AB的中点D的电势为2 V，连接C、D，CD为等势线，电场线与等势线垂直，由高电势指向低电势，如图。