[学习目标]

1．制订科学探究方案，会使用实验器材操作实验，获取数据。

2.能根据数据形成结论，会分析导致实验误差的原因。

3.熟练应用图像法和公式法处理实验数据。

一、实验目的

1．学会用单摆测量当地的重力加速度。

2．能正确熟练地使用停表。

二、实验设计

1．实验原理

当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。

2．实验器材

带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1米)、停表、毫米刻度尺和游标卡尺。

三、实验步骤

1．做单摆

取约1 m长的细丝线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。实验装置如图。

2．测摆长

用毫米刻度尺量出摆线长l′，用游标卡尺测出小钢球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋。

3．测周期

将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆做30次～50次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值。

4．改变摆长，重做几次实验。

四、数据处理

1．公式法

将测得的几次的周期T和摆长l的对应值分别代入公式g＝中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即为当地重力加速度的值。

2．图像法

由单摆的周期公式T＝2π可得T²＝l，因此以摆长l为横轴、以T²为纵轴作出的T²－l图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g值。k＝＝，所以g＝。

五、误差分析

1．系统误差

主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。

2．偶然误差

主要来自时间(即单摆周期)的测量。要从摆球通过平衡位置开始计时，不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。

六、注意事项

1．选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。

2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。

3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角不超过5°。

4．摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。

5．计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，摆球每次从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时按下秒表，开始计时计数。 要测n次全振动的时间t。

自主探究（一）　实验原理与操作

【例1】 (2022·江苏徐州高二检测)实验小组的同学做“用单摆测量重力加速度”的实验。

(1)实验前他们根据单摆周期公式导出了重力加速度的表达式g＝，其中l表示摆长，T表示周期。对于此式的理解，四位同学说出了自己的观点：

同学甲：T一定时，g与l成正比

同学乙：l一定时，g与T²成反比

同学丙：l变化时，T²是不变的

同学丁：l变化时，l与T²的比值是定值

其中正确的是同学________(选填“甲”“乙”“丙”或“丁”)的观点。

(2)实验室有如下器材可供选用：

A．长约1 m的细线

B．长约1 m的橡皮绳

C．直径约2 cm的均匀铁球

D．直径约5 cm的均匀木球

E．停表

F．时钟

G．最小刻度为毫米的米尺

实验小组的同学选用了最小刻度为毫米的米尺，他们还需要从上述器材中选择______(填写器材前面的字母)。 

(3)他们将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂(如图所示)。用刻度尺测量悬点到________之间的距离记为单摆的摆长l。

 (4)在小球平稳摆动后，他们记录小球完成n次全振动的总时间t，则单摆的周期T＝________。

(5)如果实验得到的结果是g＝10.29 m/s²，比当地的重力加速度值大，分析可能是哪些不当的实际操作造成这种结果，并写出其中一种：______________________________________________________________________。

【答案】　(1)丁　(2)ACE　(3)摆球球心　(4)　(5)见解析

【解析】　(1)重力加速度g的大小只由星球、纬度、高度决定，而与摆长和周期的大小无关；表达式g＝为计算式，可知l变化时，T²是变化的，但是l与T²比值不变。故正确的是同学丁的观点。

(2)单摆模型中，摆球密度要大，体积要小，空气阻力的影响才小，小球视为质点，故要选择直径约2 cm的均匀铁球，长度1 m左右的细线，不能用橡皮绳，否则摆长会变化，停表可以控制开始计时和结束计时的时刻，还需要ACE。

(3)摆长为悬点到球心之间的距离。

(4)根据题意可知，周期T＝。

(5)g比当地的重力加速度值大，根据表达式g＝可知，可能是周期偏小(即可能是振动次数n计多了或在计时的时候停表开始计时晚了)、可能是测得的摆长l偏大(从悬点量到了小球底部记为摆长)。

自主探究（二）　数据处理与误差分析

【例2】 在“用单摆测量重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝，只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T²－l图像，就可以求出当地的重力加速度。理论上T²－l图线是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像如图所示：

(1)造成图线不过坐标原点的原因可能是

____________________________________________________________________________________________________________________________________________。

(2)由图像求出的重力加速度g＝________m/s²(取π²＝9.87)。

(3)如果测得的g值偏小，可能的原因是________。

A．测摆长时摆线拉得过紧   

B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了

C．开始计时时，停表过迟按下

D．实验时误将49次全振动记为50次

【答案】　(1)测量摆长时漏掉了摆球的半径　(2)9.87　(3)B

【解析】　(1)T²－l图线不通过坐标原点，将图线向右平移1 cm会通过坐标原点，可知相同的周期下摆长偏小1 cm，故造成图线不过坐标原点的原因可能是测量摆长时漏掉了摆球的半径。

(2)由单摆周期公式T＝2π可得T²＝l，则T²－l图像的斜率为k＝；由图像得k＝ s²·m^－1，解得g＝9.87 m/s²。

(3)测摆长时摆线拉得过紧，则测量的摆长偏大，测得的重力加速度偏大，A不符合题意；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，知测量的摆长偏小，则测得的重力加速度偏小，B符合题意；开始计时时，停表过迟按下，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，C不符合题意；实验时误将49次全振动记为50次，测量的周期偏小，则测得的重力加速度偏大，D不符合题意。

【训练】 (2022·上海交大附中期中)(1)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和T计算重力加速度的公式是g＝__________。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是________m。若测定了40次全振动的时间如图乙所示，则停表读数是________ s，单摆的摆动周期是________ s。

(2)为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标在以l为横轴、T²为纵轴的坐标系上，即图中用“·”表示的点，则：

①单摆做简谐运动应满足的条件是________________________________________。

②试根据图中给出的数据点作出T²和l的关系图线，根据图线可求出g＝______m/s²(结果取2位有效数字)。

【答案】　(1)　0.875 0　75.2　1.88

(2)①偏角小于5°　②见解析图　9.9

【解析】　(1)由单摆的周期公式T＝2π，

可得g＝

由题图甲可知，摆长l＝(88.50－1.00) cm

＝87.50 cm＝0.875 0 m

停表的读数t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s

所以T＝＝1.88 s。

(2)①单摆做简谐运动的条件是偏角小于5°。

②连线时使大部分点落在图线上，不在图线上的点均匀分布在图线的两侧(如图)，图线斜率

k＝＝4 s²/m

由g＝可知T²－l图线的斜率表示，故＝4 s²/m

可得g≈9.9 m/s²。

自主探究（三）　实验拓展创新

1．用单摆测量重力加速度的创新实验方案 

人工计数时，需要在摆球经过最低点时按下停表，但是在实际操作中，经常会过早或过晚按下停表，导致误差较大，因此可以用自动计数代替人工计数。

如图甲所示，在摆球运动的最低点位置的左右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器可以显示光敏电阻的阻值R随时间t变化的曲线，如图乙所示。摆球摆动到最低点时，挡住激光使得光敏电阻的阻值增大，从t₁时刻开始，再经过两次挡光完成一个周期，故该单摆的振动周期为2t₀。

2．用其他方法测量重力加速度

(1)平衡法

用弹簧测力计竖直悬挂一钩码，使其处于静止状态，利用重力等于拉力，根据公式g＝求出g。

(2)自由落体法   

从高处由静止释放一重物，测出高度h及下落时间t，根据公式g＝求出g。

【例3】 在“用单摆测量重力加速度”实验中，使用下列实验器材。

A．1.2 m的细线

B．2 m的弹性绳

C．带孔的小铁球

D．带孔的软木球

E．光电门传感器

(1)应选用哪种绳________，应选用哪种球________，光电门的摆放位置为________(选填“最高点”或“最低点”)。

(2)如图为光电门传感器电流强度I与t的图像，则周期为________。

A．t₁                  B．t₂－t₁

C．t₃－t₁              D．t₄－t₁

(3)甲同学用停表做该实验，但所得周期比该实验得到的大，则可能的原因是____________________________________________________________________________________________________________________________________________。

【答案】　(1)A　C　最低点　(2)C　(3)开始计时时，停表过早按下(合理即可)

【解析】　(1)为减小实验误差，应选择轻质不可伸长的细线作为摆线，摆线选择A；为减小阻力对实验的影响，选择质量大而体积小的摆球，摆球应选C；应从摆球经过最低点时开始计时，光电门应摆放在最低点。

(2)一个周期内单摆两次经过最低点，由图示图线可知，单摆周期T＝t₃－t₁，故C正确。

(3)如果开始计时时，停表过早按下，测量时间偏长，周期就会偏大。

1．(2022·济南期中)某实验小组利用单摆测当地的重力加速度实验中，发现某次测得的重力加速度的值偏大，其原因可能是    (　　)

A．以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算

B．单摆所用摆球质量太大

C．把n次全振动时间误当成n－1次全振动时间

D．开始计时时，秒表过早按下

【答案】　A

【解析】　根据T＝2π，得g＝。以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算，则l偏大，测得的g偏大，故A正确；单摆所用摆球质量大小与重力加速度无关，故B错误；把n次全振动时间误当成(n－1)次全振动时间，则周期测量值偏大，重力加速度测量值偏小，故C错误；开始计时时，秒表过早按下，则测得的T偏大，则g测量值偏小，故D错误。

2．(2022·郑州七中期末)在“用单摆测量重力加速度”实验中。(如下图所示)

(1)下列操作正确的是________。

A．甲图：小球从偏离平衡位置60°开始摆动

B．乙图：细线上端用铁夹子固定

C．丙图：小球到达最高点时作为计时开始与终止的位置

D．丁图：小球自由下垂时测量摆线的长度

(2)某同学通过测量30次全振动的时间来测定单摆的周期T，他在单摆经过平衡位置时按下秒表记为“1”，若同方向再次经过平衡位置时记为“2”，在数到“30”时停止秒表，读出这段时间t，算出周期T＝。其他操作步骤均正确。多次改变摆长时，他均按此方法记录多组数据，并绘制了T²－L图像，则他绘制的图像可能是________。

(3)按照(2)中的操作，此同学获得的重力加速度将________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。

【答案】　(1)BD　(2)D　(3)偏大

【解析】　(1)摆线与竖直方向的夹角小于5°时，才可以认为摆球的运动为简谐运动，故A错误；细线上端应用铁夹子固定，防止松动引起摆长变化，故B正确；当小球运动到最低点时开始计时误差较小，故C错误；实验时应该测量小球自由下垂时摆线的长度，故D正确。

(2)根据T＝2π得，T²＝，可知T²与L成正比，故D正确，A、B、C错误。

(3)实际的全振动次数为29，按30次计算，则计算得到的周期测量值偏小，根据g＝知，测得的重力加速度偏大。

3．某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中进行了如下的操作：

(1)用游标尺为10分度(测量值可精确到0.1 mm)的游标卡尺测量摆球直径，游标卡尺的示数如图甲所示，摆球直径为________ cm。把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长l。

(2)用停表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并计数为0，单摆每经过最低点计数一次，当数到n＝60时停表的示数如图乙所示，该单摆的周期是T＝________ s(结果保留3位有效数字)。

(3)测量出多组周期T、摆长l的数值后，画出T²－l图像，此图线的斜率k＝________(用重力加速度g表示)。

(4)该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度。他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T₁，然后把摆线缩短适当的长度Δl，再测出其振动周期T₂。则该同学测出的重力加速度的表达式为g＝______(用所测得的物理量符号表示)。

【答案】　(1)2.06　(2)2.25　(3)  (4)

【解析】　(1)主尺上的读数为2.0 cm，游标尺读数为6×0.1 mm＝0.6 mm＝0.06 cm，所以直径为2.0 cm＋0.06 cm＝2.06 cm。

(2)由单摆全振动的次数为＝30，停表读数为t＝67.5 s，

得该单摆的周期是T＝2.25 s。

(3)根据重力加速度的表达式g＝可知，T²－l图线的斜率k＝。

(4)一摆线较长的单摆的振动周期T₁＝2π，把摆线缩短适当的长度Δl，其振动周期T₂＝2π，解得g＝