1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用。

2.了解“称量”地球质量，计算天体质量的基本思路。

3.理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法。

1.科学思维：能分析一些简单的天体运动问题，通过推理获得结论。

2.科学态度与责任：培养探索太空、了解太空的兴趣，为我国的航天事业的成就而自豪。

3.关键能力：分析推理能力。

自主探究（一）　天体质量和密度的计算

■情境导入

月球是地球的唯一一颗天然卫星，月球已经伴随地球超过46亿年，根据月球的公转周期和轨道半径，我们能否推导出月球的质量，能否推导出地球的质量？

答案　根据G＝m_月r可知，我们可推导出地球的质量，无法推导出月球的质量。

■归纳拓展

天体质量和密度的计算方法

【例1】 (2021·吉林省东北师大附中高一月考)已知月球半径为R，地心与月球中心之间的距离为r，月球绕地球公转周期为T₁，嫦娥4号飞船绕月球表面的运行周期为T₂，万有引力常量为G，由以上条件可知正确的选项是(　　)

A.地球质量为             B.月球质量为

C.地球的密度为            D.月球的密度为

【答案】　A

【解析】　月球绕地球公转，由万有引力提供向心力得G＝mr，解得地球的质量M＝，A正确，B错误；地球的半径未知，所以无法求解地球的密度，

C错误；飞船绕月球表面运行，由万有引力提供向心力得G＝m₀R，解得月球的质量m＝，则月球的密度ρ＝＝＝，D错误。

【针对训练1】 (2021·济南市莱芜二中期中)1798年英国物理学家卡文迪什测出引力常量G，因此卡文迪什被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T₁(地球自转周期)，一年的时间为T₂(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离为L₁，地球中心到太阳中心的距离为L₂。下列说法正确的是(　　)

A.由以上数据不能求出地球的质量

B.由以上数据不能求出太阳的质量

C.由以上数据不能求出月球的质量

D.由题中数据可求月球的密度

【答案】　C

【解析】　若不考虑地球自转，根据重力与万有引力的关系，有G＝mg，则M_地＝，A错误；根据太阳对地球的万有引力提供向心力使地球公转，有G＝M_地L₂，则M_太＝，B错误；由题知月球在本题中属于环绕天体，则由题中数据无法求出月球质量，从而无法求出月球密度，C正确，D错误。

自主探究（二）　天体运行参量的分析和计算

1.基本思路

一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，即F_向＝F_万。

2.常用关系

(1)G＝m＝mrω²＝mr＝mωv＝ma_n，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。

(2)mg＝G，在天体表面上物体的重力等于它受到的万有引力，可得gR²＝

Gm_天，该公式称为黄金代换。

3.四个重要结论

 

速记口诀：“高轨低速周期长，低轨高速周期短”。

【例2】 (2021·张家口市宣化一中高一月考)如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。已知地球的公转周期为1年，下列说法正确的是(　　)

A.太阳对各小行星的引力相同

B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年

C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值

D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值均大于地球公转的线速度值

【答案】　C

【解析】　太阳对小行星的引力F＝G，由于各小行星轨道半径和质量关系均未知，故不能得出太阳对小行星的引力相同的结论，故A错误；小行星绕太阳做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有G＝ma＝m＝，解得a＝，v＝，T＝，根据T＝，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于地球的公转周期，即均大于1年，故B错误；根据a＝可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，故C正确；根据v＝可知小行星带内各小行星圆周运动的线速度值均小于地球公转的线速度值，故D错误。

【针对训练2】 如图所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则(　　)

A.b所需向心力最大

B.b、c的周期相等且大于a的周期

C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度

D.b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度

【答案】　B

【解析】　因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供的，由F_引＝G知b所受的万有引力最小，故A错误；由＝得T＝2π，即卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B正确；由＝ma_n得a_n＝，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错误；由G＝m得v＝，即卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D错误。

1.(天体质量和密度的计算) (2021·广东广州市高一期末)一个轨道半径等于地球半径2倍的地球卫星，绕地球转180°的时间为t，引力常量为G，地球半径为R，由此可求得(　　)

A.地球的质量为             B.卫星的角速度为

C.卫星的密度为               D.地球的密度为

【答案】　D

【解析】  由公式＝m×2R，其中T＝2t，解得M＝，故A错误；卫星的角速度为ω＝＝，故B错误；由题意无法求出卫星的质量，则无法求出卫星的密度，故C错误；地球的密度为ρ＝＝，故D正确。

2.(天体质量和密度的计算)在某星球表面，宇航员将一物块从距离地面高h处，从静止开始无初速度释放，经时间t落地。该星球可看作质量分布均匀的球体，半径为R(h≪R)，万有引力常量为G，不考虑星球的自转，不计一切阻力，则该星球的密度为(　　)

A.                B. 

C.                D.

【答案】　A

【解析】　由h＝gt²，mg＝G，M＝ρ·πR³，解得ρ＝，故选项A正确。

3.(天体运行参量的分析和计算)金星被称为地球的“孪生姐妹”，金星半径是地球半径的0.95倍，金星质量是地球质量的0.82倍，但金星与地球有许多不同之处，如金星的自转周期略大于公转周期，在金星上可谓“度日如年”。下面是金星、地球、火星的有关情况比较。

根据以上信息，下列关于地球及金星和火星(均视为圆周运动)的说法正确的是(　　)

A.金星运行的线速度最小，火星运行的线速度最大

B.金星公转的向心加速度小于地球公转的向心加速度

C.金星的公转周期最大，火星的公转周期最小

D.金星的公转角速度最大，火星的公转角速度最小

【答案】　D

【解析】　根据万有引力提供向心力得G＝m，得v＝，金星的公转半径最小，所以线速度最大，火星的公转半径最大，所以线速度最小，故A项错误；根据G＝ma，得a＝，金星的公转半径小于地球公转半径，所以金星公转的向心加速度大于地球公转的向心加速度，故B项错误；根据G＝mr，得T＝，金星的公转半径最小，所以金星的公转周期最小，火星的公转半径最大，所以火星的公转周期最大，故C项错误；根据G＝mω²r，得ω＝，故金星公转的角速度最大，火星公转的角速度最小，故D项正确。