【知识目标】

1．理解向心加速度的概念。

2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。

3．能够运用向心加速度公式求解有关问题。

【素养目标】

物理观念：建立向心加速度的方向和大小的方法微元法的物理观念。

科学思维：培养学生思维能力和分析问题的能力，培养学生探究问题的热情，乐于学习的品质。

科学探究：体验向心加速度的导出过程，领会推导过程中用到的数学方法。

科学态度与责任：通过向心加速度的方向及公式的学习，培养学生认识未知世界要有敢于猜想的勇气和严谨的科学态度。

自主探究（一）　向心加速度的理解

■情境导入

如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(漫画)；如图乙所示小球绕细绳的另一端固定点在光滑水平面内做匀速圆周运动，请思考：

(1)在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？

(2)向心加速度改变物体的速度大小吗？

(3)向心加速度是如何产生的？

答案　(1)变化。向心加速度的作用。

(2)向心加速度只改变线速度的方向，不改变速度的大小。

(3)向心力。

■归纳拓展

1.物理意义

描述匀速圆周运动线速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。

2.向心加速度的方向

总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变。

3.圆周运动的性质

不论向心加速度a_n的大小是否变化，a_n的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动。

4.变速圆周运动的向心加速度

做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度改变速度的方向，切向加速度改变速度的大小。在变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心。

【例1】 关于向心加速度，下列说法正确的是(　　)

A.由a_n＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定

B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小

C.向心加速度越大，物体速率变化越快

D.做圆周运动的物体，加速度方向时刻指向圆心

答案　B

解析　向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此为变量，故A错误；向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，故B正确；向心加速度越大表示物体速度方向变化越快，故C错误；只有匀速圆周运动，加速度方向才时刻指向圆心，故D错误。

【针对训练1】 如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么(　　)

A.加速度为零

B.加速度恒定

C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心

D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心

答案　D

解析　由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误。

自主探究（二）　向心加速度与其他物理量的关系

1.几种表达式

(1)对应线速度：a_n＝。

(2)对应角速度：a_n＝rω²。

(3)对应周期：a_n＝r。

(4)对应转速：a_n＝4π²n²r。

2.通过控制变量法理解各量间关系

(1)当r一定时，a_n∝v²，a_n∝ω²。

(2)当v一定时，a_n∝。

(3)当ω一定时，a_n∝r。

3.a_n与r的关系图像

如图所示。由a_n－r图像可以看出：a_n与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。

【例2】 (2021·湖南岳阳市高一期末)如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑，A、B、C三点分别位于两轮上且满足关系r_A>r_B＝r_C，则这三点的向心加速度a_A、a_B、a_C的关系是(　　)

A.a_A＝a_B＝a_C          B.a_C>a_A>a_B

C.a_C<a_A<a_B            D.a_C＝a_A>a_B

答案　C

解析　A、B两点线速度大小相等，根据a＝，因r_A>r_B，则a_A<a_B；A、C两点角速度相等，根据a＝rω²，因r_A>r_C，则a_A>a_C，故a_B>a_A>a_C。故选项C正确。

【针对训练2】 (2021·浙江杭州市高一期末)物体做半径不同的匀速圆周运动，它的加速度与半径的倒数关系如图所示，则该物体运动中下列哪个物理量保持不变(　　)

A.线速度大小             B.角速度大小

C.转速                   D.向心力大小

答案　A

解析　由图像可知，a与r成反比，则由向心加速度公式a＝可知，物体的线速度大小不变，故A正确；根据a＝ω²r知，若ω不变，a∝r，故B错误；根据a＝(2πn)²r可知，若转速不变，a∝r，故C错误；若向心力保持不变，向心加速度就不随半径变化，故D错误。

自主探究（三）　匀速圆周运动的动力学分析

1.匀速圆周运动的条件：F_合＝F_n。

2.动力学方法应用步骤

(1)对匀速圆周运动物体受力分析，求合力。

(2)根据牛顿第二定律列式：F_n＝ma_n＝mω²r＝m。

(3)求解相关物理量。

【例3】 如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒壁与中心轴OO′的夹角θ＝60°，筒内壁上的A点有一质量为m的小物块，A离中心轴OO′的距离为R，重力加速度为g。求：

(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；

(2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。

答案　(1)mg　mg　(2)

解析　(1)当筒不转动时，对物块进行受力分析如图。则

F_Nsin θ＋F_f cos θ＝mg

F_Ncos θ＝F_f sin θ

由以上两式解得

F_N＝mgsin θ＝mg

F_f＝mgcos θ＝mg。

(2)物块随筒匀速转动，其受到的摩擦力为零时，

F_Ncos θ＝mω²R

F_Nsin θ＝mg

由以上两式解得ω＝＝。

【针对训练3】 如图所示，将小球穿在硬杆上，硬杆与竖直轴线OO′的夹角为53°，使硬杆绕OO′匀速转动，此时小球相对于硬杆静止在某一位置上，且与硬杆之间没有摩擦，小球质量为0.1 kg，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s²。求：

(1)杆对小球的弹力大小；

(2)小球做圆周运动的角速度ω与其离O点距离x的关系式。

答案　(1)1.25 N　(2)ω＝ rad/s

解析　对小球受力分析如图

(1)竖直方向由平衡条件可得

F_Nsin 53°＝mg，解得F_N＝1.25 N。

(2)水平方向有F_Ncos 53°＝mω²r，

其中r＝xsin 53°

解得ω＝ rad/s。

【模型建构】 圆锥摆模型

(1)运动分析：小球在水平面内做匀速圆周运动。

(2)受力分析：只受两个力作用，即竖直向下的重力以及沿摆线方向的拉力。

(3)力与运动关系分析

①水平面(轨道平面)方向

F_合＝ma_向，即mgtan θ＝m

②竖直面(垂直于轨道平面)方向Fcos θ＝mg。

【题型示例】

图甲为游乐场的悬空旋转椅，可抽象为如图乙所示模型，已知绳长L＝5 m，水平横梁L′＝3 m，小孩质量m＝40 kg，整个装置可绕竖直轴匀速转动，绳与竖直方向夹角θ＝37°，小孩可视为质点，g取10 m/s²，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：

(1)绳子的拉力大小；

(2)该装置转动的角速度；

(3)增大转速后，绳子与竖直方向的夹角变为53°，求此时装置转动的角速度。

【建模思路】 (1)将实际运动情境转化为平面示意图。

(2)通过运动分析和受力分析看是否符合圆锥摆特点。

(3)利用分解思想

①在匀速圆周运动轨道平面方向列牛顿第二定律方程。

②在垂直匀速圆周运动轨道平面方向列平衡方程。

【规范解析】

答案　(1)500 N　(2) rad/s　(3) rad/s

解析　(1)小孩受力情况如图所示

由于竖直方向受力平衡，有Fcos θ＝mg

代入数据得F＝500 N。

(2)小孩做圆周运动的半径

r＝L′＋Lsin 37°＝6 m

由Fsin θ＝mrω²，代入数据解得ω＝ rad/s。

(3)此时半径为r′＝L′＋Lsin 53°＝7 m

由mgtan 53°＝mr′ω′²

解得ω′＝ rad/s。

【模型拓展】

1.(向心加速度的理解)关于圆周运动中的向心加速度，以下说法中正确的是(　　)

A.向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的大小变化越快

B.向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的方向变化越快

C.向心加速度的大小与轨道半径成反比

D.在匀速圆周运动中向心加速度是恒量

答案　B

解析　向心加速度是描述做圆周运动的物体线速度方向变化快慢的物理量，向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的方向变化越快，选项A错误，B正确；向心加速度的大小a_n＝或a_n＝ω²r，当v一定时，a_n与r成反比；当ω一定时，a_n与r成正比，可见a_n与r的比例关系是有条件的，选项C错误；在匀速圆周运动中向心加速度方向不断变化，不是恒量，选项D错误。

2.(向心加速度与其他物理量的关系) (2021·甘肃天水市高一期中)对于匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是(　　)

A.由a_n＝知，向心加速度a_n与半径r成反比

B.由a_n＝r知，向心加速度a_n与半径r成正比

C.由ω＝知，角速度ω与周期T成反比

D.由a_n＝ω²r知，向心加速度a_n与半径r成正比

答案　C

解析　由a_n＝知，线速度不变时，向心加速度a_n与半径r成反比，选项A错误；由a_n＝r知，周期不变时，向心加速度a_n与半径r成正比，选项B错误；由ω＝知，角速度ω与周期T成反比，选项C正确；由a_n＝ω²r知，当角速度ω一定时，向心加速度a_n与半径r成正比，选项D错误。

3.(向心加速度与其他物理量的关系)甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为4∶9，转动的周期之比为3∶2，则它们的向心加速度之比为(　　)

A.3∶2                                              B.16∶81

C.4∶9                                              D.9∶4

答案　B

解析　根据向心加速度公式a＝，代入数据可得＝，故B正确，A、C、D错误。

4.(匀速圆周运动的动力学分析)(2021·石家庄精英中学高一月考)甲、乙两名花样滑冰运动员M_甲＝40 kg，M_乙＝60 kg，面对面手拉手绕他们连线上某一点做匀速圆周运动，角速度均为5 rad/s，如图所示。若两人相距1.5 m，不计冰面对人的摩擦力，求：

(1)甲做圆周运动的半径；

(2)乙做圆周运动的线速度为多大；

(3)甲对乙的拉力大小。

答案　(1)0.9 m　(2)3.0 m/s　(3)900 N

解析　(1)甲、乙两名运动员受到的拉力提供向心力，由于相互的拉力大小相等，根据牛顿第二定律得

M_甲R_甲ω＝M_乙R_乙ω

由于甲、乙两名运动员面对面手拉着手做圆周运动的溜冰表演，所以ω_甲＝ω_乙

已知两人相距1.5 m，即R_甲＋R_乙＝1.5 m

所以两人的运动半径R_甲＝0.9 m，R_乙＝0.6 m。

(2)两人的角速度相同，ω_甲＝ω_乙＝5 rad/s。

根据线速度v＝ωr得乙的线速度是

v_乙＝ωR_乙＝5×0.6 m/s＝3.0 m/s。

(3)甲对乙的拉力提供乙的向心力

F＝M_乙ω²R_乙＝60×5²×0.6 N＝900 N。