自主探究（一）　自由落体运动和自由落体加速度

如图所示，在有空气的玻璃管中，金属片比羽毛下落得快，在抽掉空气的玻璃管中，金属片和羽毛下落快慢相同。

(1)为什么在抽掉空气的玻璃管中不同物体下落快慢相同？

(2)空气中的落体运动在什么条件下可看作自由落体运动？

提示　(1)因为没有空气阻力　(2)空气的阻力作用可以忽略

一、自由落体运动

❶定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。 

❷特点

(1)运动特点：初速度等于零。

(2)受力特点：只受重力作用。

❸实际落体运动的处理

这种运动只在真空中才能发生，在有空气的空间，如果空气阻力的作用比较小，可以忽略，物体的下落可以近似看作自由落体运动。

二、自由落体加速度

❶定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同。这个加速度叫作自由落体加速度，也叫作重力加速度，通常用g表示。

❷方向：竖直向下。

❸大小

(1)g值随纬度升高而增大，随高度增加而减小。

(2)一般计算中g可以取9.8 m/s²或10 m/s²。

【思考】 跳伞运动员从飞机上跳下后，在空中下落一段时间再打开降落伞，运动员在空中下落时，可以看成是自由落体运动吗？

提示　运动员下落时，除受重力之外还受到空气阻力作用，一开始的阶段，空气阻力相对重力来说比较小，运动员的下落可近似看作自由落体运动。打开降落伞后，受到的空气阻力不能忽略，不能看作自由落体运动。

1.自由落体运动

(1)模型建立：空气阻力较小时，物体从静止开始下落的运动都可看作自由落体运动。自由落体运动是一种理想模型。

(2)物体做自由落体运动的条件

①初速度为零；②只受重力。

(3)运动性质：初速度为零，加速度为重力加速度g的匀加速直线运动。是匀变速直线运动的特例。

2.自由落体加速度(重力加速度)

(1)方向：总是竖直向下，但不一定垂直地面。

(2)大小

①在同一地点，重力加速度都相同。

②地球上纬度不同的地点重力加速度不同，其大小随纬度的增加而增大，赤道上最小，两极处最大，但各处的重力加速度都接近9.8 m/s²，一般计算中g取9.8 m/s²或10 m/s²。

【例1】关于自由落体加速度，下列说法不正确的是(　　)

A.物体的质量越大，下落时加速度就越大

B.在同一高度同时由静止释放一大一小两个金属球，二者同时着地，说明二者运动的加速度相同，这个加速度就是当地的自由落体加速度

C.北京的自由落体加速度为9.8 m/s²，说明在北京做自由落体运动的物体每经过1 s速度增加9.8 m/s

D.北京和深圳的自由落体加速度方向都竖直向下

答案　A

解析　自由落体运动是忽略空气阻力的运动，无论质量大小，下落时加速度都是g，选项A错误；在同一高度释放的金属球受到的空气阻力远小于金属球的重力，金属球做自由落体运动，故金属球运动的加速度为当地自由落体加速度，选项B正确；加速度等于单位时间内速度的变化量，北京当地自由落体加速度为9.8 m/s²，则物体在该处自由下落的过程中，每秒速度都增加9.8 m/s，选项C正确；地球表面各处的自由落体加速度值大小略有差别，但其方向均竖直向下，选项D正确。

【训练1】下列关于自由落体运动及重力加速度的说法正确的是(　　)

A.竖直向下的运动一定是自由落体运动

B.熟透的苹果从树枝开始下落的运动可被视为自由落体运动

C.在地球上，轻、重物体的g值一样大

D.g值在赤道处大于在北极处

答案　B

解析　物体做自由落体运动的条件是初速度为零且只受重力作用，A错误；熟透的苹果在下落过程中虽受空气阻力的作用，但该阻力远小于它的重力，可以忽略该阻力，故可将该运动视为自由落体运动，B正确；在地球上的相同地点，重力加速度相同，不同地点，重力加速度不同，与质量无关，C错误；赤道处g值小于北极处，D错误。

自主探究（二）　研究自由落体运动的规律

1.实验器材

打点计时器、纸带、复写纸、带铁夹的铁架台、几个质量不同的重物、夹子、交流电源、毫米刻度尺。

2.实验步骤

(1)按如图所示将打点计时器竖直固定在铁架台上，连接好电路。

(2)使纸带穿过两个限位孔，下端用夹子夹住连到重物上，让重物靠近打点计时器。

(3)用手捏住纸带上端把纸带拉成竖直状态，启动打点计时器，松手后重物自由下落，计时器在纸带上留下一串小点，重物落地后立刻关闭电源。

(4)改变重物的质量，重复几次上面的实验，选取一条点迹清晰的纸带进行处理。

3.数据处理

(1)用刻度尺测量打点计时器在纸带上打出的点之间的距离。

(2)用v_n＝求出各点的速度，作v－t图像，图像应为一条过原点的倾斜直线。

(3)根据v－t图像的斜率求加速度或根据Δx＝aT²计算加速度。

4.实验结论

自由落体运动是初速度为零、加速度恒定(约为9.8 m/s²，与物体的质量无关)的匀加速直线运动。

【例2】 某同学用如图甲所示的装置测量自由落体加速度g，得到如图乙所示的一段纸带。

甲

乙

(1)该实验使用电火花计时器，对于其使用的电源，下列说法正确的是________；

A.可以使用两节干电池对其供电

B.8 V左右的交流电源

C.220 V的交流电源

D.220 V的直流电源

(2)关于该实验的操作，下列说法正确的是________；

A.在固定电火花计时器时，应调整计时器上下限位孔在同一竖直线上

B.在手松开纸带时，应保证纸带与限位孔在同一竖直线上

C.应该在手松开纸带后再启动计时器

D.为了保证纸带竖直下落应该将拉纸带的手靠在电火花计时器限位孔上，再释放纸带

(3)他每两个点取一个计数点，相邻两个计数点间的时间间隔为0.04 s，测得AB＝11.63 cm，BC＝13.17 cm。则打B点时重物的瞬时速度为________m/s，测得的自由落体加速度g＝________m/s²，造成实验误差的主要原因是__________________________(计算结果均保留3位有效数字)。

答案　(1)C　(2)AB　(3)3.10　9.63　纸带与打点计时器的限位孔间有摩擦力

解析　(1)电火花计时器应该使用交流电源，使用两节干电池对其供电不能工作，A错误；8 V左右的交流电源是电磁打点计时器的工作电压，B错误；220 V的交流电源是电火花计时器的工作电压，D错误，C正确。

(2)打点计时器的两个限位孔应在同一竖直线上，以减小摩擦力的影响，A正确；在手松开纸带时，应保证纸带与限位孔在同一竖直线上，以减小摩擦力的影响，B正确；应该是先启动计时器后再松开纸带，C错误；为了保证纸带竖直下落应该将重物靠近电火花计时器限位孔再释放纸带，D错误。

(3)一段时间中点的瞬时速度等于该过程的平均速度

v_B＝＝＝3.10 m/s。

根据匀变速直线运动的推论

g＝＝≈9.63 m/s²。

由于纸带与打点计时器的限位孔间有摩擦力。

自主探究（三）　自由落体的规律

　如图所示，漫画中的人用石头来估测水井的深度。你认为有道理吗？为什么？

提示　石头释放后在水井中下落的过程可以认为是自由落体运动，由匀变速直线运动的规律可知，只要测出石头下落至水面的时间t，即可算出水井的深度。因声音在空气中的传播速度较大，石头落水声上传至人耳的时间可以忽略，故从石头开始下落到听到石头落水声的时间可认为等于石头自由下落的时间t。综上所述，漫画中的人用石头来估测水井的深度是合理的。

自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动，把v₀＝0和a＝g代入匀变速直线运动的公式可得

(1)速度与时间的关系式：v＝gt

(2)位移与时间的关系式：x＝gt²

(3)速度与位移的关系式：v²＝2gx

匀变速直线运动的一切推论公式，如平均速度公式、逐差相等公式、初速度为零的匀变速直线运动的比例式，都适用于自由落体运动。

【例3】 一物体自由落体运动，落地时速度是30 m/s(g取10 m/s²)。问：

(1)它从开始下落到地面所需时间；

(2)它开始下落时离地面的高度；

(3)它在最后1 s内下落的高度。

答案　(1)3 s　(2)45 m　(3)25 m

解析　(1)由v＝gt，得t＝＝ s＝3 s。

(2)法一　根据v²＝2gh，得下落时离地面的高度

h＝＝ m＝45 m。

法二　h＝t＝×3 m＝45 m。

法三　h＝gt²＝×10×3² m＝45 m。

法四　作出v－t图像，如图所示。

则h＝×3×30 m＝45 m。

(3)物体在前2 s内的位移

x＝gt＝×10×4 m＝20 m

所以最后1 s内的位移

x′＝h－x＝45 m－20 m＝25 m。

【训练2】 (2021·湖北孝昌县第一高级中学高一期中)a、b两个小球重力之比为1∶2，从高度之比为9∶1处它们各自做自由落体运动，则(　　)

A.落地时速度之比3∶2

B.下落过程重力加速度之比1∶2

C.下落过程中平均速度之比9∶1

D.下落时间之比3∶1

答案　D

解析　由自由落体运动的速度与位移关系式v²＝2gh可知，落地速度之比为3∶1，故A错误；自由落体运动重力加速度相等，为1∶1，故B错误；平均速度＝，所以平均速度之比为3∶1，故C错误；由t＝可知，下落时间之比为3∶1，故D正确。

　

1．打点计时器法

(1)实验装置如图所示。打点计时器固定在铁架台上，纸带一端系着重物，另一端穿过打点计时器。用夹子夹住纸带，启动打点计时器，松开夹子后重物自由下落，选择打出点迹清晰的纸带。

(2)对纸带上计数点间的距离h进行测量，利用g＝求出重力加速度。

[特别提醒]

(1)为尽量减小空气阻力的影响，重物应选体积小、密度大的，如铁锤等。

(2)打点计时器应竖直固定好。

(3)重物应靠近打点计时器释放，且要先接通打点计时器的电源再释放重物。

(4)改变重物的质量，重复打出几条纸带。

(5)选点迹清晰，且1、2两点间距离小于或接近2 mm的纸带分析探究。

2．频闪照相法

频闪照相机可以每间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机可追踪记录做自由落体运动的物体的位置，根据Δx是否为恒量，可判断自由落体运动是否为匀变速直线运动。根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT²可求出重力加速度g＝。由g＝也可求出重力加速度g。

3．滴水法

(1)如图所示，让水滴自水龙头滴下，在水龙头正下方放一个盘，调节水龙头，让水一滴一滴地滴下，并调节使第一滴水碰到盘的瞬间，第二滴水正好从水龙头开始下落，并且能依次持续下去。

(2)用刻度尺测出水龙头距盘面的高度h。

(3)测出每滴水下落的时间T，其方法是：当听到某一滴水滴落在盘上的同时，开启停表开始计时，之后每落下一滴水依次计数1、2、3、…，当数到n时按下停表停止计时，则每一滴水下落的时间T＝。

(4)由h＝gT²，得g＝＝。

[特别提醒]

(1)打点计时器法的误差主要来自阻力的影响和测量误差。

(2)频闪照相法和滴水法的误差主要是测量误差。

1.(自由落体运动的理解)下列关于自由落体运动的说法正确的是(　　)

A.自由落体运动是一种初速度为零的匀加速直线运动

B.从竖直上升的热气球吊篮中掉下的物体的运动是自由落体运动

C.在空气中下落的雪花的运动是自由落体运动

D.只在重力作用下的运动必定是自由落体运动

【答案】　A

【解析】　自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，故A正确；从竖直上升的热气球吊篮中掉下来的物体具有向上的初速度，所以不是自由落体运动，故B错误；在空气中下落的雪花受到的空气阻力不能忽略不计，不是自由落体运动，故C错误；只在重力作用下但初速度不为零的运动不是自由落体运动，故D错误。

2.(自由落体加速度的理解)下列关于重力加速度的说法不正确的是(　　)

A.重力加速度g是标量，只有大小，没有方向

B.在地球上的不同地方，g的大小一般是不同的，但差别不大

C.在地球上同一地点，轻石块与重石块做自由落体运动的加速度是相同的

D.纬度越低的地方，重力加速度g值越小

【答案】　A

【解析】　重力加速度是矢量，方向总是竖直向下。地球上同一地点，一切物体做自由落体运动的加速度都是相同的，地球上不同地方g的大小一般是不同的，但差别不大，纬度越低的地方，g值越小，故选项B、C、D正确。

3.(研究自由落体运动的规律)某物理实验小组利用如图所示装置通过自由落体运动测定重力加速度。已知当地重力加速度g为9.80 m/s²，打点计时器频率为50 Hz。按实验要求安装好装置，启动计时器，打点稳定后，把小球由静止释放。在纸带上打下一系列的点迹。通过多次实验，得到多条打下点迹的纸带。

(1)纸带的选择：应选择最初两点之间的距离约为__________mm(结果保留1位有效数字)；

(2)为达到较好的实验效果，小球应该选择________；

A.小木球  B.小塑料球

C.小铝球  D.小铁球

(3)在选择好的纸带上，测量出各点到第一个点的距离x和对应的运动时间t。在坐标纸上，以x为纵坐标，以________为横坐标，描绘出的图像为一条过原点的直线，测得斜率为k，可测得重力加速度g₀＝________；

(4)若测得的加速度g₀略小于当地重力加速度g，其原因可能是____________________________。

【答案】　(1)2　(2)D　(3)t²　2k　(4)小球受空气阻力或纸带受限位孔、振针的阻力作用(合理即可)

【解析】　(1)根据自由落体位移与时间关系式可知在t＝0.02 s内的位移约为2 mm，则纸带应选择最初两点之间的距离约为2 mm的纸带，这样的纸带打第一个点时的速度为零。

(2)为保证小球做自由落体运动，需要小球的重力远大于所受阻力，所以选择密度大的小铁球D。

(3)根据x＝g₀t²可知选择x为纵坐标、t²为横坐标，图像为直线。

斜率k＝g₀

可得g₀＝2k。

(4)所测加速度略小于当地重力加速度，可能是小球受空气阻力或纸带受限位孔、打点计时器振针的阻力作用。

4.(自由落体运动规律的应用)从离地面125 m高的空中静止释放一小球，小球自由落下，取g＝10 m/s²，求：

(1)小球经过多长时间落到地面；

(2)小球的落地速度大小；

(3)自开始下落计时，小球最后1 s内的位移大小。

【答案】　(1)5 s　(2)50 m/s　(3)45 m

【解析】　(1)由运动学公式h＝gt²可知

t＝＝5 s。

(2)v＝gt＝50 m/s。

(3)前4 s的位移为h′＝gt′²＝80 m

最后1 s内的位移为Δh＝h－h′＝45 m。

5.如图所示，竖直悬挂的直杆AB长为a，在B端以下h处有一高为b的无底圆柱筒CD，圆柱筒的直径远大于直杆的直径。不计一切阻力，若将悬线剪断，求：

(1)直杆B端穿过圆柱筒的时间；

(2)整个直杆穿过圆柱筒的时间。

[解题指导]　解答本题时，可参照以下思路：

【答案】(1) －

(2) －

【解析】　(1)直杆B端穿过圆柱筒的时间为：从B端下落到C点起到B端下落到D点的时间。

由x＝gt²得t＝

则B端下落到C点所需时间t₁＝

B端下落到D点所需时间t₂＝

则直杆B端穿过圆柱筒的时间是

Δt₁＝t₂－t₁＝ －

(2)整个直杆穿过圆柱筒的时间为：从B端下落到C点起到A端下落到D点的时间。

A端下落到D点所需时间t₃＝

可得整个直杆穿过圆柱筒的时间是

Δt₂＝t₃－t₁＝－