1.理解回复力的概念和特点。

2.会用动力学方法分析简谐运动中位移、速度、回复力和加速度的变化规律。

3.会用能量守恒的观点分析弹簧振子动能、势能、总能量的变化规律。

1.核心素养

(1)利用能量守恒定律研究弹簧振子，物理建模法理解简谐运动。

(2)利用“对称性”和“周期性”思维方法，理解简谐运动。

2.关键能力

物理建模能力和综合分析能力。

自主探究（一）　简谐运动的回复力

如图所示为水平方向的弹簧振子模型。

(1)当振子离开O点后，是什么力使其回到平衡位置？

(2)使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？

提示　(1)弹簧的弹力使振子回到平衡位置。

(2)弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反。

❶回复力：能够使物体在平衡位置附近做往复运动的力。

❷效果：把物体拉回到平衡位置。

❸方向：总是与位移x的方向相反，即总是指向平衡位置。

❹表达式：F＝－kx，该式表明做简谐运动的物体的回复力与位移的关系，“－”表明回复力与位移的方向始终相反。

❺简谐运动的动力学定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。

1．简谐运动中回复力的来源

(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，同向心力一样是按照力的作用效果来命名的。

(2)回复力可以由某一个力提供，如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；也可能是几个力的合力，如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和物体所受的重力的合力；还可能是某一力的分力。

2．F＝－kx式中k值的理解：公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。

3．简谐运动的加速度特点：根据牛顿第二定律得a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时，振子的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。

4．简谐运动的回复力的规律：因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。

【例1】 (2022·山东昌乐期中)如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，下列说法不正确的是(　　)

A．物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供

B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供

C．物体A与滑块B看成一个振子，其回复力大小跟位移大小之比为k

D．若A、B之间的动摩擦因数为μ，则A、B间无相对滑动的最大振幅为

【答案】　B

【解析】　物体A做简谐运动时，在水平方向受到滑块B对它的静摩擦力，所以物体A做简谐运动的回复力是由滑块B对物体A的静摩擦力提供，A正确；物体B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供，B错误；物体A与滑块B(看成一个振子)的回复力大小满足F＝－kx，则回复力大小跟位移大小之比为k，C正确； 物体间的静摩擦力最大时，其振幅最大，设为A，以整体为研究对象有kA＝(M＋m)a，以A为研究对象，由牛顿第二定律得μmg＝ma，联立解得A、B间无相对滑动的最大振幅为A＝，D正确。

【训练1】 (2022·山东烟台高二期末)下列关于简谐运动回复力的说法正确的是(　　)

A．回复力是使物体回到平衡位置的力

B．回复力可以是恒力

C．回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同

D．回复力的方向总是跟物体的速度方向相反

【答案】　A

【解析】　回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的力，由F＝－kx可知，回复力是变力，A正确，B错误；回复力的方向总是指向平衡位置，跟物体离开平衡位置的位移方向相反，可能跟物体的速度方向相反，也可能跟物体的速度方向相同，C、D错误。

【训练2】 如图所示，A、B两物体组成弹簧振子，在振动过程中，A、B始终保持相对静止。图中能正确反映振动过程中A所受摩擦力F_f与振子的位移x关系的图像应为(　　)

【答案】　C

【解析】　A、B整体在水平方向只受到弹簧的弹力作用，因此，应做简谐运动，故A也应做简谐运动，即A的回复力也应满足F＝－kx 的结论，即选项C正确；当然本题也可从整体法与隔离法的思想求出A受到的静摩擦力的表达式。在振动过程中A、B始终保持相对静止，可以把A、B看成整体。设A、B的质量分别为m_A、m_B，弹簧的劲度系数为k，则有－kx＝(m_A＋m_B)a，得a＝－，受到的摩擦力F_f＝m_Aa＝－kx，故选项C正确。

自主探究（二）　简谐运动的能量

如图所示为水平弹簧振子，振子在A、B之间往复运动。

(1)从A到B的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变化？振动系统的总机械能是否变化？

(2)如果使振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？振动系统的机械能是否增大？振动系统的机械能的大小与什么因素有关？

(3)实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？

提示　(1)振子的动能先增大后减小  弹簧的弹性势能先减小后增大　振动系统的总机械能保持不变

(2)振子回到平衡位置的动能增大　振动系统的机械能增大　振动系统的机械能与弹簧的劲度系数和振幅有关

(3)实际的振动系统，系统的能量逐渐减小　理想化的弹簧振动系统，能量不变

❶简谐运动的能量：指振动系统的机械能。振动过程就是动能和势能相互转化的过程。

(1)在最大位移处，势能最大，动能最小为零。

(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。

❷决定能量大小的因素

(1)振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能越大，振动越强。

(2)在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，所以简谐运动是等幅振动，是一种理想化模型。

1．弹簧振子在各位置的能量变化如下(如图所示)

2.简谐运动的机械能由振幅决定

对同一振动系统来说，振幅越大，振动的能量越大。如果没有能量损耗，振幅保持不变，它将永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅振动。

【例2】 如图所示，由轻质弹簧下面悬挂一物块组成一个竖直方向振动的弹簧振子，弹簧的上端固定于天花板上，当物块处于静止状态时，取它的重力势能为零，现将物块向下拉一小段距离后放手，此后弹簧振子在平衡位置附近上下做简谐运动，不计空气阻力，则    (　　)

A．弹簧振子速度最大时，振动系统的势能为零

B．弹簧振子速度最大时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能相等

C．弹簧振子经平衡位置时，振动系统的势能最小

D．弹簧振子在振动过程中，振动系统的机械能不守恒

【答案】　C

【解析】　当弹簧振子在平衡位置时的速度最大，此时的重力势能为零，但是弹簧的弹性势能不为零，故振动系统的势能不为零。在平衡位置时，物块的重力势能与弹簧的弹性势能不相等，A、B错误；因为只有重力和弹簧弹力做功，则弹簧振子的动能、重力势能及弹簧的弹性势能总和保持不变；弹簧振子在平衡位置时动能最大，故振动系统的势能最小，C正确，D错误。

【训练3】 (2022·山东烟台高二期末)如图所示是竖直方向的弹簧振子在0～0.4 s内做简谐运动的图像，由图像可知    (　　)

A．在0.25～0.3 s内，弹簧振子受到的回复力越来越小   

B．t＝0.7 s时刻，弹簧振子的速度最大

C．系统的动能和势能相互转化的周期为0.4 s

D．系统的动能和势能相互转化的周期为0.2 s

【答案】　D

【解析】　在0.25～0.30 s内，弹簧振子的位移越来越大，受到的回复力越来越大，A错误；振动的周期为0.4 s，弹簧振子在0.7 s时刻的位移最大，速度为零，B错误；动能与势能都是标量，它们变化的周期等于简谐运动的周期的一半，所以系统的动能和势能相互转化的周期为0.2 s，C错误，D正确。

自主探究（三)　简谐运动中各物理量的变化规律

1．简谐运动中各个物理量对应关系不同。位置不同，则位移不同，回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同。

2．简谐运动中的最大位移处，F、E_p最大，E_k＝0；平衡位置处，F＝0，E_p最小，E_k最大。

3．位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大。

4．机械能变化规律：振子振动过程中，动能和势能相互转化，转化过程中机械能守恒。

　　　　　　　　　　　　　　

【例3】 如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定(　　)

A．t₁到t₂时间内，系统的动能不断增大，势能不断减小

B．0到t₂时间内，振子的位移增大，速度增大

C．t₂到t₃时间内，振子的回复力先减小再增大，加速度的方向一直沿x轴正方向

D．t₁、t₄时刻振子的动能、速度都相同

【答案】　A

【解析】　t₁到t₂时间内，x减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，A正确；0到t₂时间内，振子的位移减小，速度增大，B错误；t₂到t₃时间内，振子的位移先增大再减小，所以回复力先增大再减小，C错误；t₁和t₄时刻振子的位移相同，即位于同一位置，其速度等大反向，但动能相同，D错误。

分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧

(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。

(2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。　　

【训练4】 如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，以向右为正方向，由图可知下列说法中正确的是    (　　)

A．在t＝0.2 s时刻，弹簧振子运动到O位置

B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同

C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地减小

D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同

【答案】　C

【解析】　由题图知，t＝0时，弹簧振子位于平衡位置，在t＝0.2 s时刻，弹簧振子运动到B位置，故A错误；在t＝0.1 s与t＝0.3 s 两个时刻，弹簧振子的速度大小相等，方向相反，故B错误；从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的位移越来越大，弹簧的弹性势能越来越大，其动能越来越小，故C正确；在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度大小相等，方向相反，故D错误。

1．(简谐运动的回复力)关于简谐运动的回复力F＝－kx的含义，下列说法正确的是(　　)

A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的长度

B．k是回复力跟位移的比值，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移

C．根据k＝－，可以认为k与F成正比

D．表达式中的“－”号表示F始终阻碍物体的运动

【答案】　B

【解析】　对弹簧振子来说，k为劲度系数，x为质点离开平衡位置的位移，对于其他简谐运动k不是劲度系数，而是一个比例系数，故A错误，B正确；该系数由振动系统本身结构决定，与力F和位移x无关，C错误；“－”只表示回复力与位移反向，回复力有时是动力，有时是阻力，D错误。

2．(简谐运动的能量)当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是(　　)

A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等

B．振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹力始终做负功

C．振子在运动过程中的回复力由弹簧的弹力提供

D．振子在运动过程中，系统的机械能守恒

【答案】　D

【解析】　振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，选项A错误；振子由最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧对振子施加的力指向平衡位置，做正功，B错误；振子运动过程中的回复力由弹簧振子所受合力提供，且运动过程中机械能守恒，故C错误，D正确。

3．(简谐运动中各物理量的变化规律)质量为0.5 kg的小球静止在O点，现用手竖直向上托起小球至A点，使弹簧处于原长状态，如图甲所示。t＝0时放手，小球在竖直方向上A、B之间运动，其位移x随时间t的变化如图乙所示，g取10 m/s²，下列说法正确的是(　　)

A．小球在t＝0.6 s时速度方向向上

B．小球在t＝1.2 s时加速度方向向下

C．小球从A到B过程中，弹簧的弹性势能一直增大

D．该弹簧的劲度系数为100 N/cm

【答案】　C

【解析】　小球在0～1 s时间内向下运动，所以t＝0.6 s时速度方向向下，A错误；小球在1～1.5 s 时间内从静止开始向上加速运动，1.5 s末运动到平衡位置时速度最大，方向向上，所以t＝1.2 s时加速度方向向上，B错误；小球从A到B过程中，弹簧的形变量一直增大，弹簧的弹性势能一直增大，C正确；因为质量为

0.5 kg 的小球静止在O点，根据平衡条件得mg＝kA，解得k＝100 N/m ，D错误。

4．(回复力的计算)如图所示，竖直轻质弹簧下端固定在水平面上，上端连一质量为m的物块A，A的上面放置一质量为m的物块B，系统可在竖直方向做简谐运动，则(　　)

A．当振动到最低点时，B的回复力最小

B．当振动到最高点时，B对A的压力最小

C．当向上振动经过平衡位置时，B对A的压力最大

D．当向下振动经过平衡位置时，B对A的压力最大

【答案】　B

【解析】　由于简谐运动的对称性，A、B一起做简谐运动，B做简谐运动的回复力是由B的重力和A对B的作用力的合力提供。做简谐运动的物体在最大位移处时有最大回复力，即具有最大的加速度a_m，在最高点和最低点加速度大小相等，最高点时加速度向下，最低点时加速度向上，由牛顿第二定律对B在最高点时，有mg－F_N高＝ma_m得F_N高＝mg－ma_m最小；在最低点时，有F_N低－mg＝ma_m得F_N低＝mg＋ma_m最大，经过平衡位置时，加速度为零，A对B的作用力F_平＝mg。所以B正确，A、C、D错误。