学习目标要求

1.通过实验，了解弹性碰撞和非弹性碰撞的特点。

2.定量分析一维碰撞问题并能解释生产生活中的弹性碰撞和非弹性碰撞现象。   

3.能够应用动量守恒定律和能量守恒定律分析碰撞问题。

核心素养和关键能力

1.核心素养

(1)建立碰撞模型分析解决实际问题。

(2)通过实验探究弹性碰撞与非弹性碰撞的能量问题。

2.关键能力

物理建模能力和分析推理能力。

自主探究（一）　弹性碰撞和非弹性碰撞

打台球时，桌面上两个小球碰撞前后动量遵循怎样的规律，总动量和总动能各怎样变化？碰撞时桌面的摩擦力对两小球的总动量有无重大影响，为什么？

提示　两个小球碰撞前后动量守恒，总动能可能不变，可能减小，但不会增加。因为两个小球碰撞时内力远大于所受的摩擦力，故摩擦力对动量守恒的影响可忽略。

❶弹性碰撞：系统在碰撞前后动能不变的碰撞。

❷非弹性碰撞：系统在碰撞后动能减少的碰撞。

1．碰撞的特点

(1)时间特点：碰撞现象中，相互作用的时间极短，相对物体运动的全过程可忽略不计。

(2)相互作用力特点：在碰撞过程中，系统的内力远大于外力，所以碰撞过程动量守恒。

(3)能量转化特点：一部分动能先转化为弹性势能，再将弹性势能全部或部分地转化为动能，未转化为动能的部分转化为内能或其他能。

(4)位移特点：由于碰撞在极短时间内完成，可认为碰撞前后物体处于同一位置。

2．碰撞的分类

 (1)弹性碰撞：系统动量守恒，机械能守恒。

 (2)非弹性碰撞：系统动量守恒，机械能减少，损失的机械能转化为内能。

 (3)完全非弹性碰撞：系统动量守恒，碰撞后合为一体或具有相同的速度，机械能损失最大。

【例1】 如图所示，两个物体1和2在光滑水平面上以相同动能相向运动，它们的质量分别为m₁和m₂，且m₁＜m₂。经一段时间两物体相碰撞并粘在一起。碰撞后    (　　)

A．两物体将向左运动

B．两物体将向右运动

C．两物体组成系统的机械能守恒

D．两物体组成系统能量损失最小

【答案】　A

【解析】　物体的动量p＝，已知两物体动能E_k相等，又知m₁＜m₂，则p₁<p₂，碰前总动量方向与物体2的动量方向相同，碰后两物体将向左运动，A正确，B错误；两物体碰撞后粘在一起，物体发生的碰撞是完全非弹性碰撞，系统的机械能损失最大，C、D错误。

【训练1】 质量分别为m_A＝1 kg、m_B＝2 kg的A、B两个小球在光滑水平面上发生碰撞，碰撞前后均在同一条直线上。碰撞前速度v_A＝6 m/s、v_B＝2 m/s，碰撞后速度v_A′＝2 m/s、v_B′＝4 m/s。则此碰撞是(　　)

A．弹性碰撞  B．完全非弹性碰撞

C．非弹性碰撞  D．无法确定

【答案】　C

【解析】　由m_A＋m_B＞m_A＋m_B，v_A′≠v_B′可知，此次碰撞为非弹性碰撞，故C正确。

自主探究（二）　弹性碰撞的实例分析

如图所示，光滑水平面上并排静止着小球2、3、4，小球1以速度v₀射来，已知四个小球完全相同，小球间发生弹性碰撞，则碰撞后各小球的运动情况如何？

提示　小球1与小球2碰撞后交换速度，小球2与小球3碰撞后交换速度，小球3与小球4碰撞后交换速度，最终小球1、2、3静止，小球4以速度v₀运动。

❶正碰：碰撞前后两球的速度与两球心的连线在同一条直线上的碰撞，这种碰撞称为正碰，也叫作对心碰撞或一维碰撞。

❷实例分析

 (1)推导

在光滑水平面上质量为m₁的小球以速度v₁与质量为m₂的静止小球发生弹性正碰，如图所示。

碰撞过程中，动量守恒，总动能没有损失，得

m₁v₁＝m₁v₁′＋m₂v₂′

m₁v＝m₁v₁′²＋m₂v₂′²

碰后两个物体的速度分别为

v₁′＝v₁，v₂′＝v₁

(2)结论

①若m₁＝m₂，则有v₁′＝0，v₂′＝v₁，即碰撞后两球速度互换。

②若m₁>m₂，v₁′和v₂′都是正值，表示v₁′和v₂′都与v₁方向相同。

若m₁≫m₂，这时有m₁－m₂≈m₁，m₁＋m₂≈m₁，得v₁′＝v₁，v₂′＝2v₁，表示第一个球的速度几乎不变，第二个球以2v₁的速度被撞出去。

③若m₁＜m₂，v₁′为负值，表示v₁′与v₁方向相反，第一个球被弹回。

若m₁≪m₂，这时有m₁－m₂≈－m₂，≈0，得v₁′＝－v₁，v₂′＝0，表示第一个球反向以原速率弹回，而第二个球仍静止。

【例2】 如图所示，光滑平台上有两个刚性小球A和B，质量分别为2m和3m，小球A以速度v₀向右运动并与静止的小球B发生碰撞(碰撞过程中不损失机械能)，小球B飞出平台后经时间t刚好掉入装有沙子向左运动的小车中，小车与沙子的总质量为m，速度为2v₀，小车行驶的路面近似看作是光滑的，求：

(1)碰撞后小球A和小球B的速度大小；

(2)小球B掉入小车后的速度大小。

【答案】　(1)v₀　v₀　(2)v₀

【解析】　(1)A球与B球碰撞过程中系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得

m_Av₀＝m_Av₁＋m_Bv₂

碰撞过程中系统机械能守恒，有

m_Av＝m_Av＋m_Bv

解得v₁＝－v₀，v₂＝v₀，碰后A球向左运动，B球向右运动。

(2)B球掉入沙车过程中系统水平方向动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得

m_Bv₂－m_车·2v₀＝(m_B＋m_车)v′

解得v′＝v₀。

【训练2】 如图所示，A、B是两个用等长细线悬挂起来的大小可忽略不计的小球，m_B＝5m_A，B球静止，拉起A球，使细线与竖直方向夹角为30°，由静止释放A球，在最低点A球与B球发生弹性碰撞。不计空气阻力，则关于碰后两小球的运动，下列说法正确的是(　　)

A．A球静止，B球向右，且偏角小于30°

B．A球向左，B球向右，且偏角等于30°

C．A球向左，B球向右，A球偏角大于B球偏角，且都小于30°

D．A球向左，B球向右，A球偏角等于B球偏角，且都小于30°

【答案】　C

【解析】　设A球到达最低点的速度为v，在最低点A球与B球发生弹性碰撞后，A球的速度为v_A，B球的速度为v_B，取向右为正方向

由动量守恒定律可得m_Av＝m_Av_A＋m_Bv_B

由动能守恒可得

m_Av²＝m_Av＋m_Bv

可得v_A＝v＝－v，v_B＝v＝v，A球向左，B球向右，A球偏角大于B球偏角，且都小于30°，故选项C正确。

【训练3】 (2022·宁夏大学附中高二期末)如图所示，小球A的质量为m_A＝5 kg，动量大小为p_A＝4 kg·m/s，小球A水平向右运动，与静止的小球B发生弹性碰撞，碰后A的动量大小为p_A′＝1 kg·m/s，方向水平向右，则(　　)

A．碰后小球B的动量大小为p_B＝3 kg·m/s

B．碰后小球B的动量大小为p_B＝5 kg·m/s

C．小球B的质量为15 kg

D．小球B的质量为6 kg

【答案】　A

【解析】　规定水平向右的方向为正方向，碰撞过程中A、B组成的系统动量守恒，所以有p_A＝p_A′＋p_B

解得p_B＝3 kg·m/s

故A正确，B错误；

由于是弹性碰撞，所以没有动能损失，故

＝＋

解得m_B＝3 kg

故C、D错误。

自主探究（三）　碰撞可能性的判断

分析碰撞问题的“三个原则”

1．系统动量守恒，即p₁＋p₂＝p₁′＋p₂′。

2．系统总动能不增加，即E_k1＋E_k2≥E_k1′＋E_k2′或＋≥＋。

3．速度合理

(1)碰前两物体同向运动，后面物体的速度必大于前面物体的速度，即v_后＞v_前。碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，即v_前′≥v_后′。

(2)碰前两物体相向运动，则碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零。

【例3】 两球A、B在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，m_A＝1 kg，m_B＝2 kg，v_A＝6 m/s，v_B＝2 m/s，当球A追上B并发生碰撞后，两球A、B速度的可能值是(取两球碰撞前的运动方向为正)(　　)

A．v_A′＝5 m/s，v_B′＝2.5 m/s

B．v_A′＝2 m/s，v_B′＝4 m/s

C．v_A′＝－4 m/s，v_B′＝7 m/s

D．v_A′＝7 m/s，v_B′＝1.5 m/s

【答案】　B

【解析】　对于A、D选项，碰撞后A的速度仍大于B球的速度，显然不符合实际；C项虽满足动量守恒，但碰撞后的总动能大于碰撞前的总动能。故只有B正确。

【训练4】 在高速公路上发生一起交通事故，一辆质量为1 500 kg向南行驶的长途客车迎面撞上了一质量为3 000 kg向北行驶的卡车，碰后两辆车接在一起，并向南滑行了一小段距离后停下，根据测速仪的测定，长途客车碰前以20 m/s的速率行驶，由此可判断卡车碰前的行驶速率(　　)

A．小于10 m/s

B．大于20 m/s，小于30 m/s

C．大于10 m/s，小于20 m/s

D．大于30 m/s，小于40 m/s

【答案】　A

【解析】　两车相撞后向南滑行，说明系统总动量向南，则客车的初动量大于货车的初动量，亦即1 500×20 kg·m/s＞3 000 kg×v，所以货车速度v＜10 m/s，故A正确。

【训练5】   质量为m_a＝1 kg，m_b＝2 kg的小球在光滑的水平面上发生碰撞，碰撞前后两球的位移—时间图像如图所示，则可知碰撞属于(　　)

A．非弹性碰撞

B．弹性碰撞

C．完全非弹性碰撞

D．条件不足，不能确定

【答案】　B

【解析】　根据x－t图像可知：a球的初速度为v_a＝3 m/s，b球的初速度为v_b＝0，碰撞后a球的速度为v_a′＝ m/s＝－1 m/s，碰撞后b球的速度为v_b′＝ m/s＝2 m/s，两球碰撞过程中，动能变化量为ΔE_k＝m_av＋0－m_av_a′²－m_bv_b′²＝

×1×3² J－×1×(－1)² J－×2×2² J＝0，即碰撞前后系统的总动能不变，此碰撞是弹性碰撞，故B正确。

1．(弹性碰撞)如图所示，5个小球B、C、D、E、F并排放置在光滑的水平面上，B、C、D、E四个小球质量相等，而F球质量小于B球质量，A球的质量等于F球质量，A球以速度v₀向B球运动，所发生的碰撞均为弹性碰撞，则碰撞之后(　　)

A．5个小球静止，1个小球运动

B．4个小球静止，2个小球运动

C．3个小球静止，3个小球运动

D．6个小球都运动

【答案】　C

【解析】　由题知m_A＜m_B，则A、B两球相碰后球A速度方向向左，球B向右运动。

球B、C、D、E质量相等，弹性碰撞后，不断交换速度，最终E有向右的速度，B、C、D静止。

由于m_E>m_F，则E、F两球都向右运动。故C正确。

2．(结合图像分析碰撞问题)A、B两物体在光滑水平面上沿同一直线运动，图示为发生碰撞前后的v－t图线，由图线可以判断下列说法不正确的是(　　)

A．A、B的质量比为3∶2

B．A、B作用前后总动量守恒

C．A、B作用前后总动量不守恒

D．A、B作用前后总动能不变

【答案】　C

【解析】　A、B作用前后，所受合外力为零，则动量守恒，根据动量守恒定律得m_Av_A＋m_Bv_B＝m_Av_A′＋m_Bv_B′，即6m_A＋m_B＝2m_A＋7m_B，得m_A∶m_B＝3∶2，所以A、B正确，C错误；作用前的总动能E_k1＝m_Av＋m_Bv＝m_A×6²＋m_B×1²＝m_A，碰后总动能E_k2＝m_Av_A′²＋m_Bv_B′²＝m_A×2²＋m_B×7²＝m_A，则碰撞前后动能守恒，所以D正确。

3．(碰撞可能性的判断)一质量为m₁的物体以v₀的初速度与另一质量为m₂的静止物体发生碰撞，其中m₂＝km₁，k＜1。碰撞可分为完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞以及非弹性碰撞。碰撞后两物体速度分别为v₁和v₂。假设碰撞在一维上进行，且一个物体不可能穿过另一个物体。质量为m₁的物体碰撞后与碰撞前速度之比r＝的取值范围是(　　)

A.≤r≤1            B.≤r≤

C．0≤r≤          D.≤r≤

【答案】　B

【解析】　若发生弹性碰撞，则由动量守恒m₁v₀＝m₁v₁＋m₂v₂，由能量关系得m₁v＝m₁v＋m₂v，解得v₁＝v₀，则＝，若发生完全非弹性碰撞，则由动量守恒得m₁v₀＝(m₁＋m₂)v₁，解得v₁＝，则＝，故≤r≤，B正确。

4．(弹性碰撞的实例分析)如图所示，ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC段水平，AB段与BC段平滑连接，质量为m₁的小球从高为h处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC段上质量为m₂的小球发生碰撞，碰撞后两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失，求碰撞后小球m₂的速度大小v₂。

【答案】　

【解析】　设碰撞前m₁的速度为v₀，根据机械能守恒定律有m₁gh＝m₁v

设碰撞后m₁与m₂的速度分别为v₁和v₂，根据动量守恒定律有m₁v₀＝m₁v₁＋m₂v₂

由于碰撞过程中无机械能损失，有

m₁v＝m₁v＋m₂v

联立解得v₂＝