自主探究（一）　合力和分力

如图所示，一个成年人或两个孩子均能提起同一桶水，那么该成年人用的力与两个孩子用的力的作用效果是否相同？二者能否等效替代？

提示　作用效果相同，两种情况下力的作用效果均是把同一桶水提起来，能够等效替代。

❶共点力：几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。

❷合力与分力：假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力就叫作那几个力的合力。假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同，这几个力就叫作那个力的分力。

❸合力与分力的关系

合力与分力之间是一种等效替代的关系，合力作用的效果与分力共同作用的效果相同。

合力与分力的三个特性

【例1】关于F₁、F₂及它们的合力F，下列说法中正确的是(　　)

A.合力F与F₁、F₂共同作用产生的效果不一定相同

B.两力F₁、F₂一定是同种性质的力

C.两力F₁、F₂一定是同一个物体受到的力

D.两力F₁、F₂与F是物体同时受到的三个力

【答案】　C

【解析】　只有同一个物体受到的力才能合成，分别作用在不同物体上的力不能合成。合力F是对力F₁、F₂的等效替代，两力可以是不同性质的力，分析物体的受力时，合力与分力不能同时存在。所以选项C正确。

自主探究（二）　力的合成和分解

❶力的合成

(1)定义：求几个力的合力的过程。

(2)合成规律：两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线表示合力的大小和方向，这个规律叫作平行四边形定则。

(3)多个力的合成：先求出任意两个力的合力，再求出这个合力跟第三个力的合力，直到将所有的力都合成进去。

❷力的分解

(1)定义：求一个力的分力的过程。

(2)分解规律：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵从平行四边形定则。

(3)如果没有限制，同一个力F可以分解为无数对大小、方向不同的分力。

1.同一直线上两力合成

(1)两力同向时，合力F大小等于两分力F₁、F₂大小之和，即F＝F₁＋F₂，合力的方向与两分力的方向相同。

(2)两力反向时，合力F大小等于两分力之差的绝对值，即F＝|F₁－F₂|，合力的方向与较大的分力方向相同。

2.互成角度的两力合成

(1)两分力大小一定时，分力夹角越大，合力越小。

(2)两个力的合力的大小范围：|F₁－F₂|≤F≤F₁＋F₂。

(3)合力大小可能大于某一分力，可能小于某一分力，也可能等于某一分力。

3.多个共点力的合力的求法

先求出任意两个力的合力，再求出这个合力与第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力。

4.合力的求解方法

(1)作图法

根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，然后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：

(2)计算法

①两分力共线时，直接相加减

②两分力不共线时

可以根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力。以下为求合力的三种特殊情况：

【例2】 关于共点力的合成，下列说法正确的是(　　)

A.两个分力的合力一定比分力大

B.两个分力大小一定，夹角越大，合力越小

C.两个力合成，其中一个力增大，另外一个力不变，合力一定增大

D.现有三个力，大小分别为3 N、6 N、8 N，这三个力的合力最小值为1 N

【答案】　B

【解析】　两个分力的合力不一定比分力大，如两力方向相反时，合力一定小于其中一个分力，A错误；两个分力的合力大小为F＝，分力大小一定，θ越大，合力越小，保持θ不变，使其中一个力增大，合力不一定增大，如当θ＝180°时，较小的分力增加，合力减小，B正确，C错误；3 N与6 N两力的合力大小范围为3 N≤F≤9 N，当两力的合力大小为8 N且与第三个8 N的力方向相反时，三个力的合力为0，D错误。

【例3】 如图所示，为使电线杆稳定，在杆上加了两根拉线CA和CB，若每根拉线的拉力都是300 N，两根拉线间的夹角为60°。求拉线拉力的合力的大小和方向。

【答案】　大小为520 N，方向竖直向下

【解析】　

法一　作图法

自C点画两条有向线段代表两拉力，夹角为60°，设每单位长度线段表示100 N的力，则两拉力都用3倍单位长度的线段表示，作出平行四边形CB′DA′，其对角线CD表示F₁、F₂两拉力的合力F，量得CD长度为5.2倍单位长度，所以合力大小为F＝100×5.2 N＝520 N。用量角器量得∠DCA′＝∠DCB′＝30°，所以合力方向竖直向下，如图甲所示。

法二　解析法

先画力的示意图，并作平行四边形，如图乙所示。由于CA′＝CB′，故四边形CB′DA′为菱形，两对角线互相垂直且平分，∠A′CD＝∠B′CD＝30°，合力F可用对角线表示，CD＝2CO＝2CB′cos 30°，即F＝2F₂cos 30°＝2×300× N≈520 N。由图知，合力方向竖直向下。

【训练1】 如图所示，F₁、F₂为两个相互垂直的共点力，F是它们的合力。已知F₁的大小等于3 N，F的大小等于5 N。若改变F₁、F₂的夹角，则它们的合力的大小还可能是(　　)

A.0               B.4 N

C.8 N             D.12 N

【答案】　B

【解析】　由题意得F₂＝＝4 N，故F₁、F₂的合力大小范围为1 N≤F≤7 N，选项B正确。

【训练2】 如图所示，在同一平面内，大小分别为1 N、2 N、3 N、4 N、5 N、6 N的六个力共同作用于一点，其合力大小为(　　)

A.0                  B.1 N 

C.2 N                D.3 N

【答案】　A

【解析】　先分别求1 N和4 N、2 N和5 N、3 N和6 N的合力，大小都为3 N，且三个合力互成120°角，如图所示：

根据平行四边形定则知，图中三个力的合力为零，即题中所给六个力的最终合力为零。故A正确，B、C、D错误。

自主探究（三）　矢量和标量

1.矢量：既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则的物理量。

2.标量：只有大小，没有方向，相加时遵从算术法则的物理量。

【例4】 (2022·浙江丽水期末)下列各组物理量中，都是矢量的是(　　)

A.位移、时间、速度              B.路程、速率、功

C.加速度、速度的变化量、速度    D.速度、功率、加速度

答案　C

解析　位移和速度是矢量，而时间只有大小没有方向，是标量，A错误；路程、速率和功都没有方向，是标量，B错误；加速度、速度的变化量和速度都是既有大小又有方向的物理量，是矢量，C正确；速度和加速度是矢量，而功率没有方向，是标量，D错误。

一、力的分解的讨论

二、力的效果分解法

1.力的分解的原则及基本思路

(1)分解原则：根据力的作用效果确定分力的方向，然后再画出力的平行四边形。

(2)基本思路

2.常见典型力的分解实例

三、力的正交分解法

1.力的正交分解法

把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解的方法叫力的正交分解法。正交分解的目的是方便求合力，尤其适用于物体受多个力的情况。

2.力的正交分解的方法和步骤

 

(1)最大值：三个力方向相同时，合力最大，F_max＝F₁＋F₂＋F₃。

(2)最小值：

①若三个力中任何一个力在另外两个力的合力大小范围内，则合力F的最小值为0，即F_min＝0；

②若三个力中任何一个力都不在另外两个力的合力大小范围内，设三个力中最大的一个力的大小为F₃，则当大小为F₁与F₂的两个力方向相同且与大小为F₃的力方向相反时，合力F最小，F_min＝F₃－(F₁＋F₂)。

1.(合力与分力的关系)下列关于合力与分力的说法中正确的是(　　)

A.合力与分力同时作用在物体上

B.力的分解是力的合成的逆运算

C.合力一定大于分力

D.合力不可能与某个分力大小相等

【答案】　B

【解析】　合力与分力的作用效果相同，它们并不是同时作用在物体上，选项A错误；力的分解和力的合成互为逆运算，选项B正确；合力可能大于分力，可能小于分力，也可能等于分力，选项C、D错误。

2.(矢量和标量)关于矢量和标量，下列说法不正确的是(　　)

A.矢量是既有大小又有方向的物理量

B.标量只有大小没有方向

C.－10 m的位移比5 m的位移小

D.－10 ℃的温度比5 ℃的温度低

【答案】　C

【解析】　由矢量和标量的定义可知A、B项正确；－10 m的位移比5 m的位移大，负号不表示大小，仅表示方向与规定的正方向相反，故C错误；温度是标量，负数表示该温度比0 ℃低，正数表示该温度比0 ℃高，故－10 ℃的温度比5 ℃的温度低，D正确。

3.(合力的求解)两个共点力F₁和F₂的合力大小为6 N，则F₁和F₂的大小不可能是(　　)

A.F₁＝2 N，F₂＝9 N

B.F₁＝4 N，F₂＝8 N

C.F₁＝2 N，F₂＝8 N

D.F₁＝2 N，F₂＝7 N

【答案】　A

【解析】　选项A中两个力的合力范围为7～11 N，选项A不可能；选项B中两个力的合力范围为4～12 N，选项B可能；选项C中两个力的合力范围为6～10 N，选项C可能；选项D中两个力的合力范围为5～9 N，选项D可能。

4.(合力的求解)小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，如图所示，已知两人手臂上的拉力大小相等且为F，两人手臂间的夹角为θ，水和水桶的总重力为G，则下列说法中正确的是(　　)

A.当θ＝120°时，F＝G

B.不管θ为何值，都有F＝

C.当θ＝60°时，F＝

D.θ越大，则F越小

【答案】　A

【解析】　由力的合成可知，在两分力大小相等，当θ＝120°时，F_合＝F＝G；θ＝0°时，F_合＝2F＝G，所以F＝，故选项A正确，B、C错误；在合力一定时，两分力间的夹角θ越大，则分力越大，故选项D错误。

5.如图所示，5个力同时作用于一点，5个力大小和方向相当于正六边形的两条边和三条对角线，已知F₁＝10 N，则这5个力的合力的大小为(　　)

A．30 N　　　　B．40 N

C．50 N        D．60 N

【答案】　D

【解题指导】　利用正六边形的几何特性，先将F₁与F₄合成，再将F₂与F₅合成，最后求5个力的合力。

【解析】如图所示，F₁与F₄合成时形成以F₁和F₄为邻边的平行四边形，F₃为所夹的对角线(即F₁与F₄的合力为F₃)，同理可知，F₂与F₅的合力也为F₃，故5个力的合力等于3倍的F₃，又F₃的大小等于2倍的F₁的大小，则5个力的合力大小为6F₁＝60 N，D正确。

6.在同一平面内共点的四个力F₁、F₂、F₃、F₄的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力。(cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6)

【答案】　38.2 N，方向与F₁夹角为45° 斜向上

【解题指导】　解答本题时可按以下思路分析：

【解析】如图甲所示建立直角坐标系，把各个力分解到两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力F_x和F_y，有

F_x＝F₁＋F₂cos 37°－F₃cos 37°＝27 N

F_y＝F₂sin 37°＋F₃sin 37°－F₄＝27 N

建立如图乙所示的直角坐标系。

合力F＝≈38.2 N

tan φ＝＝1

即合力的大小约为38.2 N，方向与F₁夹角为45°斜向上。