自主探究（一）　重　 力

如图所示，树上的苹果为什么总要落向地面？建筑工地上工人为什么常用重垂线来检测墙壁是否竖直？

提示　苹果落向地面是因为受到了地球的吸引力；重锤静止时，悬挂重锤的细线方向一定是沿竖直方向的，如果墙壁与细线平行，就说明墙壁是竖直的，没有倾斜。

❶重力

(1)产生：由于地球的吸引而使物体受到的力。

(2)大小：G＝mg

(3)方向：竖直向下

(4)重心：①定义：一个物体的各部分都受到重力作用，从效果上看，可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫作物体的重心。因此，重心可以看作是物体所受重力的作用点。

②决定重心位置的因素：a.物体的形状；b.物体质量的分布。

❷力的图示和力的示意图

(1)力的图示：力可以用有向线段表示。有向线段的长短表示力的大小，箭头指向表示力的方向，箭尾(或箭头)表示力的作用点，这种表示力的方法，叫作力的图示。

(2)力的示意图：只画出力的作用点和方向，不准确标度力的大小，这种粗略表示力的方法，叫作力的示意图。

1.重力的大小

(1)同一地点，不同物体重力的大小与其质量成正比。

(2)不同地点，同一物体的重力随所处纬度的升高而增大，即在赤道处g最小，在两极处g最大；随海拔高度的增大而减小。

注意：重力不是地球对物体的引力，两者大小一般也不相等。

2.重力的方向：总是竖直向下。

注意：重力的方向不一定垂直支持面向下，也不一定指向地心。

3.对重心的理解

(1)重心的特点：重心是重力的等效作用点，并非物体的其他部分不受重力作用。

(2)重心的位置及决定因素

①重心的位置可以在物体上，也可以在物体外。

②决定因素与物体质量分布情况和物体的形状有关。

(3)确定薄板状物体重心的方法——悬挂法。

【例1】 关于物体的重力和重心，下列说法正确的是(　　)

A.物体所受重力是由于受到地球吸引而产生的，所以方向总是垂直于地面向下

B.同一物体在地球上的不同位置，当用不同弹簧测力计测量时其所受重力大小是不同的，当用同一弹簧测力计测量时所受重力大小一定相同

C.物体的重心就是物体各部分所受重力的等效作用点

D.形状规则的物体(如正方体)，其重心一定在其几何中心处

答案　C

解析　重力的方向是竖直向下，与水平面垂直，但不一定与地面垂直，A错误；重力的大小取决于物体的质量和重力加速度的大小，与测量工具无关，不同地点重力加速度不同，重力大小不同，无论用同一弹簧测力计测量，还是用不同弹簧测力计测量，测量结果均不同，B错误；物体的重心是重力的等效作用点，其位置不仅与其几何形状有关，还与质量分布有关，C正确，D错误。

【训练1】 关于重力，以下说法正确的是(　　)

A.重力的方向总是垂直于接触面向下的

B.把处在空气中的物体浸入水中，物体所受重力变小

C.挂在绳上静止的物体，它受到的重力就是绳对它的拉力

D.同一物体在地球各处所受重力大小不一定相等

答案　D

解析　重力的方向总是竖直向下的，但不一定是垂直于接触面向下的，比如在斜面上的物体所受的重力方向并不是垂直于斜面向下的，A错误；重力G＝mg，其大小只与物体质量、自由落体加速度g有关，与其他因素无关，B错误；绳子拉力的施力物体是绳子，重力的施力物体是地球，两者的施力物体不同，不是同一个力，C错误；由于自由落体加速度随着纬度、高度的变化而变化，所以同一物体在地球各处所受重力大小不一定相等，D正确。

自主探究（二）　弹　力

(1)玩具汽车停在模型桥面上，如图甲所示，会看到什么现象？产生的结果是什么？

(2)“弹跳鞋”是一种由弹簧操控形变的曲形弹跳器，如图乙所示，小明穿上“弹跳鞋”后，为什么能越跳越高？

提示　(1)桥面和汽车轮胎都发生了形变，桥面要恢复原状，对汽车产生向上的支持力，汽车轮胎要恢复原状，对桥面产生向下的压力。

(2)小明穿上“弹跳鞋”后，压缩弹簧，形变的弹簧对小明有向上的作用力，弹簧的压缩量越大，恢复原状时对小明向上的作用力越大，小明会越跳越高。

❶形变：物体在力的作用下形状或体积发生的变化。

❷弹力：发生形变的物体，要恢复原状，对与它接触的物体会产生力的作用，这种力叫作弹力。

❸三种弹力的方向

(1)放在地板上的物体，它对地板的压力以及地板对它的支持力的方向，都跟接触面是垂直的。

(2)绳子拉力的方向沿绳子指向绳子收缩的方向。

(3)弹簧弹力的方向沿弹簧指向弹簧恢复原状的方向。

1.弹力产生的两个条件

(1)两物体间相互接触。

(2)发生弹性形变。

2.弹力有无的判断

根据条件判断，首先看是否接触，其次看是否发生弹性形变。

(1)对形变明显的情况可以直接判断。

(2)对形变不明显的情况，可假设两个物体间弹力不存在，看物体能否保持原有的状态，若状态不变，则此处不存在弹力；若状态改变，则此处一定有弹力。

(3)根据物体的运动状态，利用力的平衡条件来进行判定。

3.常见弹力方向的分析

【例2】如图所示，各接触面是光滑的，A、B处于静止状态，则A、B间有弹力作用的是(　　)

答案　B

解析　判断物体之间是否存在弹力，我们可以利用假设法：假设物体间存在弹力，看看物体是否能保持原来的状态；或者假设拿走其中一个物体，如果另一个物体会发生运动，则说明两者之间必然存在弹力作用，故选B。

【例3】 在如图所示的各图中画出杆或球P所受弹力的方向，已知杆或球均处于静止状态。

答案　见解析

解析　题图甲中P受到的弹力有球面与球面之间的弹力，弹力方向应垂直于两球接触点沿球面的切线；绳的拉力沿绳斜向上，如图(a)所示。

题图乙中杆对C、D两处有挤压作用，因C处为曲面，D处为支撑点，所以C处弹力方向垂直于其切面指向圆弧所对应的圆心，D处弹力方向垂直于杆斜向上，如图(b)所示。

题图丙中球挤压墙壁且拉紧绳子，所以墙对球的弹力方向与墙面垂直；绳子对球的弹力方向沿绳子斜向上，如图(c)所示。

题图丁中球受到的弹力方向与棱和球面接触处的切面垂直，即沿着球的半径方向指向球心，如图(d)所示。

判断弹力方向的一般思路

　

【训练2】如图所示的四幅图中，研究对象P所受弹力的方向不正确的是(　　)

答案　B

自主探究（三）　胡克定律

❶弹性形变：物体在发生形变后，撤去作用力能够恢复原状的形变。

❷弹性限度：如果形变过大，超过一定的限度，撤去作用力后物体不能完全恢复原来的形状，这个限度叫作弹性限度。

❸胡克定律：在弹性限度内，弹簧发生弹性形变时，弹力F的大小跟弹簧伸长(或缩短)的长度x成正比，即F＝kx。

❹劲度系数：其中k叫作弹簧的劲度系数，单位为牛顿每米，符号是N/m，劲度系数是表示弹簧“软”“硬”程度的物理量。

【思考】 如图所示，图甲表示弹簧处于原长状态，弹簧的原长为l₀，图乙在拉力F₁的作用下弹簧的长度为l₁，图丙在压力F₂的作用下弹簧的长度为l₂，则F₁和F₂分别等于多少？

提示　在F＝kx中，x表示的是弹簧伸长的长度或缩短的长度，而不是弹簧的长度。题图乙中弹簧伸长量为l₁－l₀，题图丙中弹簧压缩量为l₀－l₂，所以F₁＝k(l₁－l₀)，F₂＝k(l₀－l₂)。

1.对胡克定律F＝kx的理解

(1)适用范围：弹簧的形变必须在弹性限度内。

(2)x的意义：x是弹簧的形变量，即弹簧的伸长量(l－l₀)或压缩量(l₀－l)。

(3)k的意义：弹簧的劲度系数由弹簧本身的材料、长度、粗细、匝数等因素决定。

(4)

F－x图像：是一条过原点的倾斜直线(如图所示)，直线的斜率表示弹簧的劲度系数k。

(5)推论式ΔF＝kΔx：弹簧弹力的变化量ΔF与形变量的变化量Δx也成正比。

2.计算弹力大小的两种方法

【例4】 一根轻质弹簧在10.0 N的拉力作用下，其长度由原来的5.00 cm伸长为6.00 cm。求：(弹簧始终在弹性限度内)

(1)当这根弹簧长度为4.20 cm时，弹簧受到的压力是多大？

(2)当弹簧受到15.0 N的拉力时，弹簧的长度是多少？

答案　(1)8.00 N　(2)6.50 cm

解析　(1)弹簧原长

L₀＝5.00 cm＝5.00×10^－2 m

在拉力F₁＝10.0 N的作用下伸长到

L₁＝6.00 cm＝6.00×10^－2 m

根据胡克定律得F₁＝kx＝k(L₁－L₀)

解得弹簧的劲度系数k＝＝ N/m＝1.00×10³ N/m

设当压力大小为F₂时，弹簧被压缩到

L₂＝4.20 cm＝4.20×10^－2 m

根据胡克定律得，压力大小

F₂＝kx₂＝k(L₀－L₂)＝1.00×10³×(5.00－4.20)×10^－2 N＝8.00 N。

(2)设弹簧的弹力大小F＝15.0 N时弹簧的伸长量为x，由胡克定律得

x＝＝ m＝1.50×10^－2 m

＝1.50 cm

此时弹簧的长度为L＝L₀＋x＝6.50 cm。

【训练3】 一轻质弹簧的长度和弹力大小的关系如图所示，根据图像判断正确的是(　　)

A.弹簧的劲度系数为1 N/m

B.弹簧的劲度系数为100 N/m

C.弹簧的长度为4 cm时，弹力的大小为4 N

D.弹簧伸长2 cm时，弹力的大小为4 N

答案　B

解析　 弹簧处于原长时，弹簧的弹力应为零，由此可知弹簧原长为6 cm；由题图图像可知，当弹簧伸长或压缩2 cm时，弹力的大小为2 N，根据胡克定律可得弹簧的劲度系数为100 N/m；当弹簧长度为4 cm时，弹力的大小为2 N，选项B正确，A、C、D错误。

1、几何法

对于质量分布均匀又有一定的几何形状的物体，它的重心都与其几何中心重合。

实心的棒状物、薄板等重心都在物体内的某点上，而质量分布均匀形状规则的一些物体，其重心与它的几何中心重合，但不一定在物体上，如质地均匀的金属圆环等；一般说来，有对称面的物体重心在它的对称面上，有对称线的物体重心在它的对称线上，有对称点的物体重心就落在对称点上，如果从对称的观点出发，结合其它方面的思考，可迅速找到重心的准确位置。如图6所示，质量分布均匀的等边直角三角板的重心就在悬线与直角角平分线的交点O上。

2、悬挂法

将不规则的薄板，在某点A悬挂起来，当薄板静止时沿悬线方向在薄板上画出竖直线AB，然后另选一点C再次悬挂，再次在薄板上画出竖直线CD，如图1所示，薄板重心即在AB线上，又在直线CD上，由此可知重心必在两直线的交点上。

3、牵引法

将长形棒状物体的一端用细绳AB悬挂起来，另一端用弹性细绳CD缓慢拉起到一适当位置，分别画出AB、CD的延长线，并相交于E点，E点的正上方O点就是棒状物的重心。牵引法找重心的原理是：当物体受三个力作用处于平衡状态时，这三个力的作用线必相交于一点。

4、平移法

将粗细不均质量分布不均的圆柱状物体，放在两根平行细杆上，如图所示，当两平行细棒相向一起缓慢靠拢时，圆柱物体在细杆上或左或右移动，最终两细杆合拢在一起，圆柱状物体静止在细杆上，则物体的重心就在两细杆合拢处的正上方。

5、平衡法

将质量分布不均，粗细不均，重力为G1的棒状物体，用细绳系于中心O点上（接近中心即可），吊挂起来，棒状物体由于重心不在其几何中心上，导致它的一端下降，另一端上翘。将重为G2的物体用细绳套挂在棒状物翘起的一端，缓慢调整细绳的位置，使棒状物体平衡，用刻度尺测出悬线到O点的距离，利用力矩平衡原理算出棒的重心到O点的距离。

6、割补法

对于质量分布均匀，有一定形状的几何物体，由于挖取或补贴了某一部分而失去原有的规则性，在求解此类问题时可以通过等效法，假想恢复物体的原状，再利用平衡法确定其重心位置。

例1　如图所示是一个质量分布均匀的大圆，现挖去一个小圆，圆心在大圆半径一半处，半径是大圆半径的一半．求挖去后圆的重心位置．

【解析】利用割补法分析重心的位置．根据半径关系可知割去的圆形薄板面积为原来面积的，假设将割去的圆形薄板可补上，在重心处可以将物体支撑起来，运用杠杆的平衡条件列式解答．

解：根据题意，大圆的圆心和小圆的圆心以及剩余部分的重心应该在一条大圆的直径上（剩余部分的重心在它的对称轴上）．因为小圆半径r是大圆半径R的一半，所以割去的圆形薄板面积为原来面积的；设完整大圆的质量为mkg，圆板的重心将从O点向左移动x；假设将割去的圆形薄板可补上，在重心处可以将物体支撑起来，根据杠杆的平衡条件可得：（m-m）g•x=mg•，解得：x=R．∴剩余圆盘的重心在O点向左R的位置处．

（二）对弹力的理解

1．弹力有无的判断方法

 

2．常见弹力方向的分析

（三）力的图示

1.力的图示与力的示意图的区别

 

说明：以后除有特别说明外一般画力的示意图而不画力的图示。

2.画力的图示的方法和步骤

（四）对胡克定律F＝kx的理解

(1)适用范围：弹簧的形变必须在弹性限度内。

(2)x的意义：x是弹簧的形变量，即弹簧的伸长量(l－l₀)或压缩量(l₀－l)。

[特别提醒]　x与弹簧的长度的区别。

(3)k的意义：弹簧的劲度系数由弹簧本身的材料、长度、粗细、匝数等因素决定。

(4)F­-x图像：是一条过原点的倾斜直线(如图所示)，直线的斜率表示弹簧的劲度系数k。

(5)推论式ΔF＝kΔx：弹簧弹力的变化量ΔF与形变量的变化量Δx也成正比。

[特别提醒]　

①如果弹簧的初、末两个状态都处于伸长状态或压缩状态，则ΔF＝F₂－F₁，Δx＝x₂－x₁。

②如果弹簧的初状态是伸长状态(或压缩状态)、末S状态是压缩状态(或伸长状态)，则ΔF应为两个状态的弹力大小之和，即ΔF＝F₁＋F₂；Δx应为伸长量和压缩量之和，即Δx＝x₁＋x₂。

1.(重力)关于重力的大小及重心的位置，以下说法中正确的是(　　)

A.重力是物体本身具有的力，大小只与物体的质量有关

B.静止在水平面上的物体对水平面的压力一定小于其所受的重力

C.重力只作用在物体的重心上，重心的位置总在物体的几何中心

D.重力是由于地球对物体的吸引而产生的，重力的施力物体是地球

【答案】　D

【解析】　重力是由于地球对物体的吸引而使物体受到的力，并不是物体本身具有的力，重力的施力物体是地球，物体重力的大小只与物体质量、自由落体加速度有关，选项A错误，D正确；不受其他外力而静止在水平面上的物体，对水平面的压力大小等于物体的重力，选项B错误；重心是物体所受重力的等效作用点，重心的位置与物体的形状和质量分布有关，只有形状规则、质量均匀分布时，重心的位置才在物体的几何中心，选项C错误。

2.(弹力的产生)(2022·黑龙江实验中学期中)一个足球放在一块长木板上，如图所示，木板和足球均发生了弹性形变，关于它们弹力的情况，以下说法不正确的是(　　)

A.足球受到的支持力是木板产生的弹力

B.足球产生的弹力作用在木板上

C.木板形变是由于木板产生弹力造成的

D.足球产生的弹力就是足球对木板的压力

【答案】　C

【解析】　足球受到的支持力是由木板发生弹性形变而产生的，故A正确；木板对足球有弹力的作用，物体间力的作用是相互的，足球产生的弹力作用在木板上，故B正确；木板形变是由于木板受到足球的作用力的结果，故C错误；足球产生的弹力就是因为足球发生弹性形变对木板产生的压力，故D正确。

3.(弹力的方向)关于下列四幅图中的弹力的方向，下列说法正确的是(　　)

A.甲图中，由于书的形变，对桌面产生向下的弹力

B.乙图中，弹簧发生弹性形变时，弹力的方向与弹簧收缩方向相反

C.丙图中，碗对筷子的弹力方向沿筷子斜向上，如图中箭头所示

D.丁图中，绳的拉力方向沿着绳而指向绳拉伸的方向

【答案】　A

4.(胡克定律)如图所示，一根轻弹簧的原长为20 cm，竖直悬挂着，当用15 N的力向下拉弹簧时，量得弹簧长24 cm。若把它竖立在水平桌面上，用30 N的力竖直向下压时，弹簧长度是多少？(始终在弹簧的弹性限度内)

【答案】　12 cm

【解析】　当弹簧受向下的15 N的拉力作用时，由胡克定律知F₁＝k(L₂－L₁)

即15 N＝k(0.24 m－0.20 m)

解得劲度系数为k＝ N/m＝375 N/m

当用30 N的力向下压时，设弹簧长度为L₃

由胡克定律知F₂＝k(L₁－L₃)

整理得L₃＝L₁－＝0.2 m－ m

＝0.12 m＝12 cm。

5.弹簧弹力随其形变量变化的规律，还可用图像来表示。一轻弹簧的弹力F大小和弹簧长度l的关系如图所示。

(1)求该弹簧的原长和劲度系数。

(2)图像中左边图线能否延长至与纵轴相交？请说明理由。

【答案】　(1)10 cm　200 N/m　(2)见解析

【解析】　(1)弹簧的弹力为0时弹簧处于原长状态，对应图线可知，弹簧原长l₀＝10 cm，

由F-­l图线可知，当弹簧长度l＝5 cm时弹簧弹力F＝10 N，

由胡克定律F＝kx可得：10 N＝k(0.1 m－0.05 m)

解得k＝200 N/m。

(2)图线中左边图线不能延长至与纵轴相交，因弹簧弹丝有一定的粗细，不可能压缩到弹簧长度为零。

6.一根大弹簧内套一根小弹簧，大弹簧比小弹簧长0.20 m，它们的下端固定在地面上，上端自由，如图甲所示。当用力压缩此组合弹簧时，测得力和弹簧压缩距离之间的关系如图乙所示，求大弹簧劲度系数k₁及小弹簧劲度系数k₂。

【答案】k₁＝100 N/m，k₂＝200 N/m

【解析】依据F＝kΔx得：在弹簧压缩距离0到0.2 m范围内：

20 N＝k₁×0.2 m　①

在弹簧压缩距离0.2 m到0.3 m范围内：(这个范围内小弹簧的压缩量比大弹簧小0.2 m)

50 N＝k₁×0.3 m＋k₂×0.1 m，　②

联立①②解得：k₁＝100 N/m，k₂＝200 N/m。