【知识目标】

1.理解向心力的概念，会分析向心力的来源。

2.掌握向心力大小的表达式，并会应用公式进行有关的计算。

3.能够建立圆周运动模型分析向心力的来源。

【素养目标】

1.科学思维：(1)控制变量法分析讨论问题

(2)微元的思想

(3)实际问题模型化

2.关键能力：

(1)数学方法的应用

(2)建模能力

自主探究（一）　向心力的理解

1.向心力大小：F_n＝m＝mω²r＝mr。

2.向心力的方向：无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。

3.向心力的作用效果：改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小。

【例1】 (2021·黑龙江牡丹江一中高一期中)关于向心力的说法正确的是(　　)

A.物体由于做圆周运动而产生了向心力

B.向心力就是物体受到的合力

C.做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的

D.向心力不改变圆周运动物体速度的大小

答案　D

解析　物体做圆周运动就需要向心力，向心力是由外界提供的，不是物体本身产生的，故A错误；匀速圆周运动中合力提供向心力，变速圆周运动中合力与向心力不一定相等，故B错误；向心力始终指向圆心，方向时刻在改变，则向心力是变化的，故C错误；向心力的方向与速度方向垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向，故D正确。

【针对训练1】 下列关于向心力的叙述中不正确的是(　　)

A.向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力

B.做匀速圆周运动的物体，除了受到别的物体对它的作用力外，还一定受到一个向心力的作用

C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力，或者是某一个力的分力

D.向心力只改变物体线速度的方向，不改变物体线速度的大小

答案　B

解析　向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是物体受到的重力、弹力、摩擦力中的某个力或这些力中某几个力的合力，也可以是某一个力的分力，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力，B错误，C正确；向心力时刻指向圆心，是一个变力，与线速度方向垂直，所以向心力只改变线速度方向，不改变线速度大小，A、D正确。

自主探究（二）　向心力的来源及分析

■情境导入

1.如图所示，滑冰运动员转弯时什么力充当向心力？

答案　地面对运动员的摩擦力充当向心力。

2.如图所示，小球绕O′在水平面内做匀速圆周运动，可以说小球受重力、绳的拉力和指向O′的向心力吗？

答案　不能，向心力是按效果命名的力，物体实际受到的沿半径方向的合力即为向心力，不是另外受到向心力。

■归纳拓展

1.向心力的来源

(1)某个力提供；(2)某个力的分力提供；(3)几个力的合力提供。

2.常见实例分析

(1)重力提供向心力

如地球卫星绕地球做圆周运动。

(2)弹力提供向心力

如图所示，在光滑水平面上，将绳子的一端系在O点，绳子另一端系一小球，使小球在水平面上做匀速圆周运动，则小球做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力(弹力)提供。

(3)静摩擦力提供向心力

如图所示，木块随圆盘一起在水平面内做匀速圆周运动，其向心力由静摩擦力提供。木块相对圆盘的运动趋势方向是沿半径背离圆心，静摩擦力的方向与相对运动趋势方向相反。

(4)合力提供向心力

如图所示，汽车过拱桥时，经最高点时其向心力由重力和支持力的合力提供。

(5)向心力由某一力的分力提供

如图所示，小球做圆锥摆运动，绳的拉力可分解为水平分力F₁和竖直分力F₂，则向心力可认为由绳拉力的水平分力提供，当然也可以认为是由重力和绳的拉力的合力提供。

【特别提示】 对于做匀速圆周运动的物体，向心力由它所受的合力提供，其大小恒定。

【例2】 (2021·重庆十一中高一期中)如图所示，一圆柱形容器绕其轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面间始终保持相对静止。当转速增大后(A、B与容器接触面间仍相对静止)，下列说法正确的是(　　)

A.两物体受到的摩擦力都增大

B.两物体受到的摩擦力大小都不变

C.物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变

D.物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大

答案　D

解析　容器绕其轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以A为研究对象，在水平方向上，容器施加的弹力提供A做圆周运动的向心力；在竖直方向，重力和静摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力大小保持不变。以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由F_f＝F_n＝mω²r得其受到的摩擦力随着转速的增大而增大，故D正确。

【针对训练2】 (2021·河北承德一中高一检测)如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳悬于v＝4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止，此时两悬线的拉力之比F_B∶F_A为(g＝

10 m/s²)(　　)

A.1∶1                B.1∶2

C.1∶3                D.1∶4

答案　C

解析　F_B＝mg，F_A＝mg＋m＝3mg，所以F_B∶F_A＝1∶3。故选项C正确。

自主探究（三）　匀速圆周运动的特点及分析

1.匀速圆周运动的条件：合力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力。

2.匀速圆周运动的三个特点

(1)线速度大小不变、方向时刻改变。

(2)角速度、周期和转速都恒定不变。

(3)向心力的大小恒定不变，但方向时刻改变。

3.匀速圆周运动的分析思路

【例3】一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的，圆锥固定，有质量相同的两个小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则(　　)

A.A球的角速度必小于B球的角速度

B.A球的线速度必小于B球的线速度

C.A球运动的周期必小于B球运动的周期

D.A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力

答案　A

解析　两球均沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，它们均受到重力和筒壁对它们的弹力作用，这两个力的合力提供向心力，如图所示，F_合＝，由牛顿第二定律可得

＝mω²R＝＝

所以ω＝①

v＝②

T＝2π③

筒壁对小球的弹力F_N＝④

由于A球运动的半径大于B球运动的半径，由①式可知A球的角速度必小于B球的角速度，故A正确；由②式可知A球的线速度必大于B球的线速度，故B错误；由③式可知A球的运动周期必大于B球的运动周期，故C错误；由④式可知A球对筒壁的压力一定等于B球对筒壁的压力，故D错误。

自主探究（四）　变速圆周运动和一般的曲线运动

1.变速圆周运动：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果：

(1)跟圆周相切的分力F_t：产生切向加速度，改变线速度的大小。

(2)指向圆心的分力F_n：产生指向圆心的加速度，改变线速度的方向。

2.一般的曲线运动

(1)定义：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。

(2)处理方法：一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。

【例4】 一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小。图A、B、C、D中分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，你认为可能正确的是(　　)

答案　C

解析　汽车在行驶中速度越来越小，所以汽车在轨迹的切线方向做减速运动，切线方向受力如图中的F_t所示。同时汽车做曲线运动，必有向心力，向心力如图中的F_n所示。汽车所受合力F为F_t、F_n的合力，故C正确。

1.(向心力的来源和分析) (2021·四川绵阳一中高一期中)如图所示，一圆盘可绕一通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一个木块，当圆盘匀速转动时，木块随圆盘一起运动，那么(　　)

A.木块受到重力、弹力、摩擦力、向心力作用

B.木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心

C.当圆盘的角速度超过一定数值时，木块将滑动

D.因为摩擦力总是阻碍物体的运动，所以木块所受到圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动方向相反

答案　C

 

解析　对木块受力分析可知，木块受到重力、支持力和摩擦力的作用，向心力是根据力的效果命名的，重力是竖直向下的，支持力是竖直向上的，重力和支持力都在竖直方向上，这两个力为平衡力，只有摩擦力提供物体做圆周运动的向心力，所以摩擦力的方向应该是指向圆心的，A、B、D错误；当圆盘的角速度超过一定数值时，最大静摩擦力不足以提供向心力，则木块将滑动，故C正确。

2.(匀速圆周运动的特点及分析)如图所示，质量不计的轻质弹性杆插入桌面上的小孔中，杆的另一端固定一质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，则下列说法正确的是(　　)

A.小球所受的合力大小为0

B.小球所受的合力大小为m

C.小球对杆作用力的大小为m

D.小球对杆作用力的大小为m

答案　D

解析　小球所受合力提供匀速圆周运动的向心力，即F_合＝mω²R，故A、B错误；小球受重力和杆对它的作用力F，根据力的合成有F²－(mg)²＝(F_合)²，根据牛顿第三定律小球对杆作用力的大小F′＝F＝m，故C错误，D正确。

3.(变速圆周运动)如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是(　　)

A.当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c

B.当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力

C.当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a

D.当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b

答案　A

解析　转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向指向圆心O点，A项正确，B项错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C项错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D项错误。

4.(向心力的分析与计算)在光滑水平杆上穿着两个小球m₁、m₂，且m₁＝2m₂，用水平细线把两球连起来，当支架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图所示。此时两小球到转轴的距离r₁与r₂之比为(　　)

A.1∶1               B.1∶4                        

C.2∶1               D.1∶2

答案　D

解析　由题图可知，两球均由所受绳子的拉力提供向心力，所以向心力大小相等，角速度又相等，则有m₁ω²r₁＝m₂ω²r₂，又有m₁＝2m₂，联立解得r₁∶r₂＝1∶2。选项D正确。