自主探究（一）　匀变速直线运动的位移

如图所示，汽车由静止以加速度a₁启动，行驶一段时间t₁后，又以加速度a₂刹车，经时间t₂后停下来。请思考：

(1)汽车加速过程及刹车过程中，加速度的方向相同吗？

(2)汽车加速过程和减速过程中运动的位移相同吗？

提示　(1)汽车加速时加速度的方向与运动方向相同，减速时加速度方向与运动方向相反，因此两过程中加速度方向不同。

(2)由于汽车加速和减速运动的加速度和时间均不同，所以加速过程和减速过程中运动的位移不一定相同。

❶利用v－t图像求位移

v－t图像与时间轴所围的梯形面积表示位移，如图所示，x＝(v₀＋v)t。

❷匀变速直线运动位移与时间的关系式

x＝v₀t＋at²，当初速度为0时，x＝at²。

1.适用条件：匀变速直线运动。

2.公式的用途：公式x＝v₀t＋at²中包含四个物理量，知道其中任意三个量，就可以求出另外一个物理量。

3.矢量性：公式中x、v₀、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。

通常选取初速度的方向为正方向	a、v0同向时，a取正值
	a、v0反向时，a取负值
位移的计算结果	正值：说明位移方向与规定的正方向相同
	负值：说明位移方向与规定的正方向相反

4.两种特殊形式

(1)当a＝0时，x＝v₀t(匀速直线运动)。

(2)当v₀＝0时，x＝at²(由静止开始的匀加速直线运动)。

5.在v－t图像中，图线与t轴所围的面积对应物体的位移，t轴上方面积表示位移为正，t轴下方面积表示位移为负。

【例1】 物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为1 m/s²，求：

(1)物体在2 s内的位移；

(2)物体在第2 s内的位移；

(3)物体在第二个2 s内的位移。

答案　(1)2 m　(2)1.5 m　(3)6 m

解析　(1)物体做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移公式得x₂＝at＝2 m。

(2)第1 s末的速度(第2 s初的速度)

v₁＝v₀＋at₁＝1 m/s

故物体在第2 s内的位移

x_Ⅱ＝v₁t₁＋at＝ m

＝1.5 m。

(3)第2 s末的速度

v₂＝v₀＋at₂＝(0＋1×2) m/s＝2 m/s

也是物体在第二个2 s的初速度

故物体在第二个2 s内的位移

x₂′＝v₂t₂′＋at₂′²＝ m

＝6 m。

应用位移公式解题的一般步骤

(1)确定一个方向为正方向(一般以初速度的方向为正方向)。

(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负的数值表示。

(3)根据位移—时间关系式或其变形式列式、求解。

(4)根据计算结果说明所求量的大小、方向。

【例2】 汽车沿平直公路匀减速刹车，初速度大小为7 m/s，第1 s内的位移大小为6 m，求：

(1)汽车刹车的加速度大小；

(2)汽车刹车后4 s内的位移大小。

答案　(1)2 m/s²　(2)12.25 m

解析　(1)根据匀变速直线运动的位移与时间关系式x＝v₀t＋at²

可得汽车运动的加速度

a＝＝＝－2 m/s²

负号表示加速度的方向与初速度的方向相反，加速度的大小为2 m/s²。

(2)根据速度与时间关系知汽车刹车时间为

t＝＝＝3.5 s

故汽车刹车后4 s内的位移等于汽车刹车后3.5 s内的位移，即

x＝v₀t＋at²＝7 m/s×3.5 s－×2 m/s²×3.5² s²＝12.25 m。

刹车类问题的处理方法

实际交通工具刹车后可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止。解答此类问题的方法如下：

(1)先求出刹车时间t_刹＝，然后比较题给时间t和刹车时间t_刹的大小关系。

(2)若t<t_刹，表示t时刻物体没有停止，可规定v₀为正方向，则可利用v＝v₀－at和x＝v₀t－at²求v和x。

(3)若t>t_刹，表示t时刻物体已经停止，则v＝0，利用x＝at或x＝t_刹求t时间内的位移。

 【训练1】 某辆赛车在一段直道上做初速度为零的匀加速直线运动，前2 s内位移是8 m，则(　　)

A.赛车的加速度是2 m/s² B.赛车的加速度是3 m/s²

C.赛车第4 s内的位移是32 m              D.赛车第4 s内的位移是14 m

答案　D

解析　赛车做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移与时间的关系式x＝at²，解得a＝4 m/s²，故A、B、错误；赛车第4 s内的位移为前4 s内的位移减去前3 s内的位移，由Δx＝at－at解得赛车第4 s内的位移为14 m，故C错误，D正确。

自主探究（二）　速度与位移的关系

❶速度与位移的关系式：v²－v＝2ax。

❷推导

速度与时间的关系式v＝v₀＋at。

位移与时间的关系式x＝v₀t＋at²。

由以上两个公式消去t，可得

【思考】 如图所示，A、B、C三个标志牌的间距均为x，汽车做匀加速直线运动，加速度为a，已知汽车经过标志牌A的速度为v_A，你能求出汽车经过标志牌B和C的速度v_B和v_C吗？

提示　能，由v－v＝2ax可求出v_B，由v－v＝2a(2x)可求出v_C。

1.公式的适用条件：匀变速直线运动。

2.公式的矢量性：公式中v₀、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v₀的方向为正方向。

3.两种特殊形式

(1)当v₀＝0时，v²＝2ax。(初速度为零的匀加速直线运动)

(2)当v＝0时，－v＝2ax。(末速度为零的匀减速直线运动)

【例3】 随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显。分析交通违法事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命。一货车严重超载后的总质量为49 t，以54 km/h的速率匀速行驶。发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s²(不超载时则为5 m/s²)。

(1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？

(2)若超载货车刹车时正前方25 m处停着一辆小轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度大小。

答案　(1)45 m　22.5 m　(2)10 m/s

解析　(1)设货车刹车时速度大小为v₀，加速度为a，末速度为v，刹车距离为x，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式得

x＝

由题意知v₀＝54 km/h＝15 m/s，v＝0，

a₁＝－2.5 m/s²，a₂＝－5 m/s²

代入数据得，超载时x₁＝45 m

不超载时x₂＝22.5 m。

(2)超载货车与轿车碰撞时，由v′²－v＝2a₁x′知

相撞时货车的速度大小

v′＝

＝

＝10 m/s。

【训练2】 如图所示，一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则x_AB∶x_BC等于(　　)

A.1∶1                                              B.1∶2

C.1∶3                                              D.1∶4

答案　C

解析　设小车的加速度为a，由v²－v＝2ax得x_AB＝，x_BC＝x_AC－x_AB＝－＝，故x_AB∶x_BC＝1∶3，选项C正确。

 

　【推理思维】 在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够短，速度的变化就非常小，在这段时间内就可以近似地应用匀速直线运动的公式来计算位移。如图甲所示，如果我们把每一小段Δt内的运动看作匀速运动，则矩形面积之和等于各段匀速直线运动的位移之和，显然小于匀变速直线运动在该时间内的位移，但所取时间段Δt越小，各匀速直线运动位移之和与匀变速直线运动位移之间的差值就越小，如图乙所示，当Δt→0时，各矩形面积之和趋近于v－t图线与时间轴所围的面积，可以想象，如果把整个运动过程划分得非常细，很多小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了，位移的大小就等于图丙所示的梯形面积。

【方法感悟】 对于匀变速直线运动位移与时间关系式的推理，运用了“无限分割，逐步逼近”的微分思想。此推理方法实质上是微积分思想在高中物理的体现。

【推广延伸】

(1)任意直线运动的v－t图像中，图像与时间轴包围的面积都表示位移大小。

(2)对任意形状的v－t图像都适用。

如图所示，运动物体的位移可用v－t图像中图形的面积表示。

【典型示例】

甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t＝0到t＝t₁的时间内，它们的v－t图像如图所示。在这段时间内(　　)

A.汽车甲的平均速度比乙的大

B.汽车乙的平均速度等于

C.甲、乙两汽车的位移相同

D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大

答案　A

解析　根据v－t图像中图线与t轴围成的面积表示位移大小，可以看出汽车甲的位移x_甲大于汽车乙的位移x_乙，故C错误；根据＝得，汽车甲的平均速度v_甲大于汽车乙的平均速度v_乙，故A正确；汽车乙的位移x_乙小于初速度为v₂、末速度为v₁的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于，故B错误；根据v－t图像的斜率反映了加速度的大小，所以汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，故D错误。

1．公式的适用条件

公式x＝v₀t＋at²只适用于匀变速直线运动。

2．公式的矢量性

公式x＝v₀t＋at²为矢量式，其中的x、v₀、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。如果选初速度v₀的方向为正方向：

(1)匀加速直线运动，a取正值；匀减速直线运动，a取负值。

(2)计算结果：x＞0，表示位移的方向与规定的正方向相同；x＜0，表示位移的方向与规定的正方向相反。

3．两种特殊形式

(1)当a＝0时，x＝v₀t(表示匀速直线运动)。

(2)当v₀＝0时，x＝at²(表示初速度为零的匀加速直线运动)。

4.应用位移公式x＝v₀t＋at²的解题步骤

(1)规定一个正方向(一般以初速度的方向为正方向)。

(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负的数值表示。

(3)根据位移与时间关系式或其变形式列式、求解。

(4)根据计算结果说明所求量的大小、方向。

5.利用v-t图像的“面积”求位移

在v­-t图像中，图线与时间轴所围成的“面积”表示位移：

(1)“面积”有正负：

①在时间轴上方“面积”为正值，表示位移沿正方向；

②在时间轴下方“面积”为负值，表示位移沿负方向。

(2)“面积”的绝对值表示位移的大小：

①总位移等于时间轴上、下方“面积”的代数和；

②总路程为时间轴上、下方“面积”的绝对值之和。

6.如何选择合适的公式解题

关于匀变速直线运动的问题，通常涉及v₀、v_t、a、t和x这五个物理量，以及v­t、x­t和x­v关系式。在选用关系式时，首先看问题情境中有哪些已知量与未知量，再看这些量出现在哪个关系式中，最后确定所用的关系式。这是解决该类问题比较便捷的方法。

运用公式时，要注意速度、加速度与位移的方向，由此确定代入数据的正负号。

1.(位移与时间关系的应用)一质点做初速度为零的匀加速直线运动，第3 s内的位移为15 m，则(　　)

A.质点的加速度为6 m/s²

B.质点前3 s内的平均速度为15 m/s

C.质点第3 s末的瞬时速度为15 m/s

D.质点第5 s内的位移为75 m

【答案】　A

【解析】　根据x＝at²可得x_Ⅲ＝at－at，代入数据解得a＝6 m/s²，故A正确；质点前3 s内的位移为x₃＝at＝27 m，则前3 s内的平均速度为＝＝9 m/s，故B错误；质点第3 s末的瞬时速度为v₃＝at₃＝18 m/s，故C错误；质点第5 s内的位移为x′＝at－at＝27 m，故D错误。

2.(v²－v＝2ax的应用)一辆汽车在平直公路上以72 km/h的速度匀速行驶，遇到紧急情况需要刹车，刹车时加速度大小为4 m/s²，则汽车从刹车开始到停止通过的距离为(　　)

A.20 m                    B.40 m

C.50 m                    D.100 m

【答案】　C

【解析】　汽车刹车时的初速度v₀＝72 km/h＝20 m/s，由v²－v＝2ax得x＝ m＝50 m，C正确。

3.(位移与时间关系和速度与位移关系的综合应用)可爱的企鹅喜欢在冰面上玩游戏，如图所示，有一企鹅在倾斜冰面上，先以加速度大小为0.5 m/s²从冰面底部由静止开始沿直线向上“奔跑”，t＝8 s时，突然卧倒以肚皮贴着冰面向前以加速度大小为8 m/s²减速滑行至最高点，最后又以加速度大小为4 m/s²退滑到出发点，完成一次游戏(企鹅在滑动过程中姿势保持不变)。求：

(1)企鹅向上“奔跑”的位移大小及8 s末速度大小；

(2)企鹅在冰面向上滑动的最大距离；

(3)企鹅退滑到出发点时的速度大小。(结果可用根式表示)

【答案】　(1)16 m　4 m/s　(2)17 m　(3)2 m/s

【解析】　(1)企鹅向上“奔跑”的位移大小为

x₁＝a₁t²＝×0.5×8² m＝16 m

8 s末速度大小v₁＝a₁t＝0.5×8 m/s＝4 m/s。

(2)匀减速的位移x₂＝＝ m＝1 m

企鹅在冰面向上滑动的最大距离x_max＝x₁＋x₂＝17 m。

(3)设退滑到出发点时的速度大小为v′，由速度位移的关系式得v′²＝2a₃x_max

解得v′＝2 m/s。