从近几年高考物理试题来看，考查极值问题的频率越来越高，由于这类试题既能考查考生对知识的理解能力、推理能力，又能考查应用数学知识解决问题的能力，因此必将受到高考命题者的青睐.下面介绍极值问题的六种求解方法.

一、临界条件法

对物理情景和物理过程进行分析，利用临界条件和关系建立方程组求解，这是高中物理中最常用的方法．

【例1】(2014·高考安徽卷)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s².则ω的最大值是(　　)

A. rad/s　　　B. rad/s

C．1.0 rad/s   D．0.5 rad/s

[解析]　当物体转到最低点时，恰好不滑动的临界条件为：物体受到静摩擦力达到最大值，即F_f＝F_fm，此时转盘的角速度最大，受力如图所示(其中O为对称轴位置)．

由沿斜面的合力提供向心力，有

F_fm－mgsin 30°＝mω²R

由题意知：F_fm＝F_f＝μmgcos 30°

解得：ω＝＝1.0 rad/s，C正确．

[答案]　C

二、二次函数极值法

对于二次函数y＝ax²＋bx＋c，当a＞0时，y有最小值y_min＝，当a＜0时，y有最大值y_max＝.也可以采取配方法求解．

【例2】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s²的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v_自＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车．试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

[解析]　设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则

自行车的位移：x_自＝v_自t

汽车的位移：x_汽＝at²

则t时刻两车的距离Δx＝v_自t－at²

代入数据得：Δx＝－t²＋6t

当t＝ s＝2 s时，Δx有最大值

Δx_max＝ m＝6 m

对Δx＝－t²＋6t也可以用配方法求解：

Δx＝6－(t－2)²

显然，当t＝2 s时，Δx最大为6 m.

(说明：此题也可用临界法求解．)

[答案]　见解析

三、三角函数法

某些物理量之间存在着三角函数关系，可根据三角函数知识求解极值．

【例3】(2013·高考山东卷)如图所示，一质量m＝0.4 kg的小物块，以v₀＝2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝10 m．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝.重力加速度g取10 m/s².

(1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小；

(2)拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？

[解析]　(1)设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得：

L＝v₀t＋at²①

v＝v₀＋at②

联立①②式，代入数据解得：a＝3 m/s²，v＝8 m/s.

(2)设物块所受支持力为F_N，所受摩擦力为F_f，拉力与斜面之间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得：

Fcos α－mgsin θ－F_f＝ma③

Fsin α＋F_N－mgcos θ＝0④

又F_f＝μF_N⑤

联立③④⑤解得：F＝⑥

由数学知识得：cos α＋sin α＝sin(60°＋α)⑦

由⑥⑦式可知对应的F最小值与斜面的夹角α＝30°⑧

联立⑥⑧式，代入数据得F的最小值为：

F_min＝ N.

[答案]　(1)3 m/s²　8 m/s

(2)夹角为30°时，拉力最小，为 N

四、图解法

此种方法一般适用于求矢量极值问题，如动态平衡问题，运动的合成问题，都是应用点到直线的距离最短求最小值．

【例4】　质量为m的物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，用图解法求维持物体做匀速运动的最小拉力．

 

[解析]　由＝μ知，不论F_f、F_N为何值，其比值恒定

由图知＝μ＝tan α，即F′的方向是确定的．

由平衡条件推论可知：mg、F′、F构成闭合三角形．

显然，当F⊥F′时，F最小．

F_min＝mgsin α＝mg＝.

(说明：此题也可用三角函数法求解．)

物体受力分析如图．

由平衡条件得：

F·cos θ＝F_f①

F·sin θ＋F_N＝mg②

又F_f＝μF_N③

联立①②③得：F＝

令sin α＝，cos α＝

则F＝

当sin(α＋θ)＝1时，F_min＝.

[答案]　

五、均值不等式法

任意两个正整数a、b，若a＋b＝恒量，当a＝b时，其乘积a·b最大；若a·b＝恒量，当a＝b时，其和a＋b最小．

【例5】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力．

(1)求绳断时球的速度大小v₁和球落地时的速度大小v₂.

(2)问绳能承受的最大拉力多大？

(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？

[解析](1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有竖直方向d＝gt²，水平方向d＝v₁t

解得v₁＝

由机械能守恒定律有mv＝mv＋mg

得v₂＝ .

(2)设绳能承受的最大拉力大小为F_T，这也是球受到绳的最大拉力大小

球做圆周运动的半径为R＝d

由圆周运动向心力公式，有F_T－mg＝

得F_T＝mg.

(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v₃，绳承受的最大拉力不变，有F_T－mg＝m得v₃＝

绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－l，水平位移为x，时间为t₁有d－l＝gt，x＝v₃t₁

得x＝4

当l＝时，x有最大值，x_max＝d.

[答案]　见解析

六、判别式法

一元二次方程的判别式Δ＝b²－4ac≥0时有实数根，取等号时为极值，在列出的方程数少于未知量个数时，求解极值问题常用这种方法．

 

【例6】(原创题)如图所示，顶角为2θ的光滑绝缘圆锥，置于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，现有质量为m，带电量为－q的小球，沿圆锥面在水平面内做圆周运动，求小球做圆周运动的最小半径．

[解析]　小球受力如图，设小球做圆周运动的速率为v，轨道半径为R.

由牛顿第二定律得：

水平方向：qvB－F_Ncos θ＝

竖直方向：F_Nsin θ－mg＝0

两式联立得：

－qvB＋mg

cot θ＝0

因为速率v为实数，故Δ≥0

即(qB)²－4mgcot θ≥0

解得：R≥

故最小半径为：R_min＝.

[答案]　

【实战演练】

 

1.(单选)(2015·广州模拟)如图所示，船在A处开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37°角，水流速度为4 m/s，则船从A点开出的最小速度为(　　)

A．2 m/s　　 B．2.4 m/s

C．3 m/s   D．3.5 m/s

解析：选B.AB方向为合速度方向，由图可知，当v_船⊥AB时最小，即v_船＝v_水·sin 37°＝2.4 m/s，B正确．

 

 

2．(单选)如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A点处放置一光滑的木板AB，B端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块自A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为(　　)

A．α＝θ    B．α＝

C．α＝    D．α＝2θ

解析：选B.如图所示，在竖直线AC上选取一点O，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A点，且与斜面相切于D点．由等时圆知识可知，由A沿斜面滑到D所用时间比由A到达斜面上其他各点所用时间都短．将木板下端与D点重合即可，而∠COD＝θ，则α＝.

3．(原创题)如图，有几个底边长度均为L、倾角不同的光滑斜面，将一物体从斜面顶端由静止释放滑到底端，当倾角α为多少时用时最短？最短时间为多少？

解析：斜面长度为s＝.

物体的加速度为a＝gsinα

由s＝at²得：

t＝＝

当α＝45°时，t最小.

t_min＝2.

答案：45°　2

4.一质量为m的小球在光滑的水平面上以速度v₀匀速运动，从t＝0时刻开始小球受到恒力F作用，F与v₀之间的夹角如图所示．求：

(1)小球速度的最小值；

(2)小球速度最小时的位移的大小．

解析：(1)如图，将v₀分解为平行于F方向的v₀sinθ和垂直于F方向的v₀cosθ，因小球在垂直于F方向的速度不变，当平行于F方向的分速度为0时v最小，则v_min＝v₀cosθ

(2)小球从t＝0时刻到速度达到最小值的过程可看做初速度为v₀cos θ的反方向的类平抛运动过程，则小球的加速度大小为a＝

所用时间t＝

小球在垂直于F方向的位移为x＝v₀cosθ·t

平行于F方向的位移为y＝at²

故总位移为l＝

解得l＝.

答案：见解析

5.(原创题)一人在距公路垂直距离为h的B点(垂足为A)，公路上有一辆以速度v₁匀速行驶的汽车向A点行驶，当汽车距A点距离为L时，人立即匀速跑向公路拦截汽车，求人能拦截住汽车的最小速度．

解析：法一：设人以速度v₂沿图示方向恰好在C点拦住汽车，用时为t.

则L＋htan α＝v₁t①

＝v₂t②

整理得：v₂＝

＝

由数学知识知：v_2min＝ .

法二：

选取汽车为参照物．

人正对汽车运动即可拦住汽车，即人的合速度方向指向汽车．

其中一分速度大小为v₁，另一分速度为v₂，当v₂与合速度v垂直时，v₂最小，由相似三角形知识可得：

＝

v₂＝.

答案：

6．甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L₁＝11 m处，乙车速度v_乙＝60 m/s，甲车速度v_甲＝50 m/s，此时乙车离终点线尚有L₂＝600 m，如图所示．若甲车加速运动，加速度a＝2 m/s²，乙车速度不变，不计车长．求：

(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？

(2)到达终点时甲车能否超过乙车？

解析：(1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大，

即v_甲＋at₁＝v_乙，得t₁＝＝ s＝5 s

甲车位移x_甲＝v_甲t₁＋at＝275 m

乙车位移x_乙＝v_乙t₁＝60×5 m＝300 m

此时两车间距离Δx＝x_乙＋L₁－x_甲＝36 m.

(2)甲车追上乙车时，位移关系x′_甲＝x′_乙＋L₁

甲车位移x′_甲＝v_甲t₂＋at，乙车位移x′_乙＝v_乙t₂，

将x′_甲、x′_乙代入位移关系，得v_甲t₂＋at＝v_乙t₂＋L₁，

代入数值并整理得t－10t₂－11＝0，

解得t₂＝－1 s(舍去)或t₂＝11 s，

此时乙车位移x′_乙＝v_乙t₂＝660 m＞L₂

故到达终点时甲车不能超过乙车．

答案：见解析

7．(原创题)如图所示，电动势为E、内阻为r的电源给一可变电阻供电，已知可变电阻变化范围为0～R_m，且R_m>r.当R为何值时功率最大，最大功率为多少？

解析：设可变电阻为R，

则I＝

P＝I²R＝·R①

配方法：P＝

显然，当R＝r时，功率最大，P_max＝

判别式法：将①式整理成关于R的二次方程

PR²＋(2Pr－E²)R＋Pr²＝0

由于R为实数，故Δ≥0

即(2Pr－E²)²－4P²r²≥0

解得：P≤

最大值为P_max＝，代入①式得R＝r.

答案：见解析

8.质量分别为M、m的斜面体A、B叠放在光滑水平面上，斜面体倾角为α，两者之间的动摩擦因数为μ(μ＜tan α)，今用水平外力F推B，使两者不发生滑动，求F的取值范围，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．(已知：m＝3 kg，M＝8 kg，μ＝0.5，α＝37°.)

解析：B恰好不向下滑动时，所需F最小，此时B受到最大静摩擦力沿斜面向上．如图甲所示．

设两者共同的加速度为a₁，对整体有：

F_min＝(M＋m)a₁①

对B有：

联立解得：F_min＝g＝7.5 N

　

　　 甲　　　　　　　　　乙

B恰好不上滑时所需F最大，此时B受最大静摩擦力沿斜面向下．如图乙所示．

设共同加速度为a₂，对整体有：

F_max＝(M＋m)a₂⑤

对B有：

联立解得：F_max＝g＝82.5 N

故取值范围为7.5 N≤F≤82.5 N

答案：7.5 N≤F≤82.5 N