一、临界状态

物体在运动状态变化的过程中，相关的一些物理量也随之发生变化．当物体的运动变化到某个特定状态时，相关的物理量将发生突变，该物理量的值叫临界值，这个特定状态称之为临界状态．

二、临界状态的判断

1．若题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点．

2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态．

3．临界状态的问题经常和最大值、最小值联系在一起，因此，若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点．

4．若题目中有“最终”、“稳定”等文字，即是求收尾速度或加速度．

三、处理临界问题的思路

1．会分析出临界状态的存在．

2．要抓住物体处于临界状态时的受力和运动特征，找出临界条件，这是解决问题的关键．

3．能判断物体在不满足临界条件时的受力和运动情况．

4．利用牛顿第二定律结合其他规律列方程求解．

四、力学中常见的几种临界条件

1．接触物体脱离的临界条件：

接触面间的弹力为零，即F_N＝0.

【例1】如图所示，当斜面以多大加速度a向右加速运动时，小球离开斜面？

[思路点拨]　斜面静止时，小球受到重力、拉力、支持力而静止；当小球随斜面加速运动，支持力减小，以获得水平合外力，当加速度足够大时，小球甚至“飞”起．当小球与斜面接触且作用力为0时，即为小球离开斜面的临界条件．

[解析]　当小球与斜面间弹力为零时，受力分析如图所示．

由牛顿第二定律得：F_合＝＝ma₀

a₀＝

即当a＞a₀＝时，小球离开斜面．

[答案]　a＞

2．绳子松弛的临界条件：

绳中张力为0，即F_T＝0.

【例1】如图所示，当斜面以多大加速度a向左运动时，小球沿斜面上移？

[思路点拨]　斜面静止时，小球受重力、弹力和拉力而静止．当小球随斜面向左加速运动，则绳的拉力将减小，支持力增大，以获得水平向左的加速度，加速度足够大时，小球可能沿斜面上移，因此绳的拉力为零是球上移的临界条件．

[解析]　当绳的拉力为零时，小球受力如图．

由牛顿第二定律得：F_合＝mgtan θ＝ma₀

a₀＝gtan θ

即当a＞a₀＝gtan θ时，小球沿斜面上移．

[答案]　a＞gtan θ

3．相对滑动的临界条件：

静摩擦力达到最大值，即f_静＝f_m.

【例3】如图所示，水平面光滑，A、B质量相等，A、B间最大静摩擦力为f，则F为多少时，A、B发生相对运动．

[思路分析]　力F很小时，加速度小，A对B的摩擦力小，A、B一起运动．随着力F增大，加速度a增大，A对B的摩擦力增大，最大静摩擦力是极限．则A、B发生相对运动的临界条件是两者之间的摩擦力为f.

[解析]　由整体法得：F＝2ma

对A：f＝f_m＝ma

解得：F＝2f.

即当F＞2f时A、B发生相对滑动．

[答案]　F＞2f

4．滑块在滑板上不滑下的临界条件：

滑块滑到滑板一端时，两者速度相同．

【例4】质量为M＝2 kg、长为L的木板静止在光滑的水平面上，在木板左端放有质量为m＝1 kg的铁块(可视为质点)．现给铁块施加一水平拉力F＝4 N，使铁块相对木板滑动，作用t＝1 s后撤去拉力，铁块恰好不掉下木板，求木板的长度L的值．(已知铁块与木板间的动摩擦因数为μ＝0.2，g取10 m/s²)

[解析]　铁块的加速度

F作用时：F－μmg＝ma₁，a₁＝2 m/s²，向右

撤去F后：μmg＝ma′₁，a′₁＝2 m/s²，向左．

木板的加速度(相对滑动过程中不变)

μmg＝Ma₂，a₂＝1 m/s²

前1 s内两者的位移：

x₁＝a₁t²＝1 m

x₂＝a₂t²＝0.5 m.

撤去F时两者的速度：

v₁＝a₁t＝2 m/s

v₂＝a₂t＝1 m/s

撤去F后，设铁块滑到木板右端用时为t′，共同速度为v.

由v＝v₁－a′₁t′＝v₂＋a₂t′得

v＝ m/s，t′＝ s

两者对地位移：

x′₁＝t′＝ m

x′₂＝t′＝ m

木板长度L＝(x₁＋x′₁)－(x₂＋x′₂)＝ m.

[答案]　 m

 

【实战演练】

 

1．(多选)如图，在光滑水平面上放着紧靠在一起的A、B两物体，B的质量是A的2倍，B受到水平向右的恒力F_B＝2 N，A受到的水平向右的变力F_A＝(9－2t) N，t的单位是s.从t＝0开始计时，则(　　)

A．A物体在3 s末时刻的加速度是初始时刻的倍

B．t＞4 s后，B物体做匀加速直线运动

C．t＝4.5 s时，A物体的速度为零

D．t＞4.5 s后，A、B的加速度方向相反

解析：选ABD.对于A、B整体，据牛顿第二定律有：F_A＋F_B＝(m_A＋m_B)a，设A、B间的作用力为F，则对于B，据牛顿第二定律可得：F＋F_B＝m_Ba，

解得F＝m_B－F_B＝ N.

当t＝4 s时F＝0，A、B两物体开始分离，此后B做匀加速直线运动，而A做加速度逐渐减小的加速运动．当t＝4.5 s时A物体的加速度为零而速度不为零；t＞4.5 s后，A所受合外力反向，即A、B的加速度方向相反．当t＜4 s时，A、B的加速度均为a＝.综上所述，选项A、B、D正确．

2.(单选)如图所示，木块A、B静止叠放在光滑水平面上，A的质量为m，B的质量为2m.现施加水平力F拉B，A、B刚好不发生相对滑动，一起沿水平面运动．若改为水平力F′拉A，使A、B也保持相对静止，一起沿水平面运动，则F′不得超过(　　)

A．2F　　 B.

C．3F    D.

解析：选B.水平力F拉B时，A、B刚好不发生相对滑动，这实际上是将要滑动，但尚未滑动的一种临界状态，从而可知此时A、B间的摩擦力即为最大静摩擦力．

先用整体法考虑，对A、B整体：F＝(m＋2m)a.

再将A隔离可得A、B间最大静摩擦力为：f_m＝ma，

解得：f_m＝.

若将F′作用在A上，隔离B可得B能与A一起运动，而A、B不发生相对滑动的最大加速度a′＝，

再用整体法考虑，对A、B整体：F′＝(m＋2m)a′，

解得：F′＝.

3.(多选)如图甲所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端放置一物体(物体与弹簧不连接)，初始时物体处于静止状态，现用竖直向上的拉力F作用在物体上，使物体开始向上做匀加速运动，拉力F与物体位移x的关系如图乙所示(g＝10 m/s²)，下列结论正确的是(　　)

A．物体与弹簧分离时，弹簧处于原长状态

B．弹簧的劲度系数为750 N/m

D．物体的加速度大小为5 m/s²

解析：选ACD.物体与弹簧分离时，弹簧的弹力为零，轻弹簧无形变，所以选项A正确；从图中可知ma＝10 N，ma＝30 N－mg，解得物体的质量为m＝2 kg，物体的加速度大小为a＝5 m/s²，所以选项C、D正确；弹簧的劲度系数k＝＝ N/m＝500 N/m，所以选项B错误．

4.如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一质量为m的重物，先由托盘M托住m，使弹簧比自然长度缩短L，然后由静止开始以加速度a匀加速向下运动．已知a＜g，弹簧劲度系数为k，求经过多少时间托盘M将与m分开．

解析：当托盘与重物分离的瞬间，托盘与重物虽接触但无相互作用力，此时重物只受到重力和弹簧的作用力，由于这一瞬间重物的加速度仍为a，且a＜g，故此时弹簧必为伸长状态，设弹簧的伸长量为x，对重物，由牛顿第二定律得：mg－kx＝ma①

在这一运动过程中重物下降的高度为L＋x，由运动学公式有：L＋x＝at²②

联立①②解得：t＝.

答案：

5．一个质量为0.2 kg的小球用细绳吊在底角为θ＝53°的斜面顶端，如图所示，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10 m/s²的加速度向右做加速运动时，求绳子的拉力及斜面对小球的弹力．

解析：先分析物理现象，用极限法把加速度a推到两个极端来分析：当a较小(a→0)时，小球受三个力(重力、绳拉力和斜面的支持力)作用，此时绳平行于斜面；当a较大(足够大)时，小球将“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角未知，那么a＝10 m/s²向右时，究竟是上述两种情况中的哪一种？解题时必须先求出小球离开斜面的临界值a₀，然后才能确定．

令小球处在离开斜面的临界状态(F_N刚好为零)时，斜面向右的加速度为a₀，此时对小球有

mgcotθ＝ma₀

所以a₀＝gcotθ＝7.5 m/s²

因为a＝10 m/s²＞a₀.

所以小球离开斜面(如图所示)向右加速运动．

所以F_T＝＝2.83N，F_N＝0.

答案：2.83 N　0

6.如图所示，木块A、B的质量分别为m₁、m₂，紧挨着并排放在光滑的水平面上，A与B的接触面垂直于图中纸面且与水平面成θ角，A与B间的接触面光滑．现施加一个水平力F于A，使A、B一起向右运动，且A、B不发生相对运动，求F的最大值．

解析：A、B一起向右做匀加速运动，F越大，加速度a越大，水平面对A的弹力F_NA越小，A、B不发生相对运动的临界条件是F_NA＝0，此时木块A受到重力m₁g、B对A的弹力F_N和水平力F三个力的作用．根据牛顿第二定律有

F－F_Nsin θ＝m₁a，

F_Ncos θ＝m₁g，

F＝(m₁＋m₂)a，

由以上三式可得，F的最大值为F＝.

答案：

7．物体A的质量m₁＝1 kg，静止在光滑水平面上的木板B的质量为m₂＝0.5 kg、长l＝1 m，某时刻A以v₀＝4 m/s的初速度滑上木板B的上表面，为使A不至于从B上滑落，在A滑上B的同时，给B施加一个水平向右的拉力F，若A与B之间的动摩擦因数μ＝0.2，试求拉力F应满足的条件．(忽略物体A的大小)

解析：物体A滑上木板B以后，做匀减速运动，

加速度a_A＝μg①

木板B做加速运动，有F＋μm₁g＝m₂a_B②

物体A不滑落的临界条件是A到达B的右端时，A、B具有共同的速度v_t，则

＝＋l③

且＝④

由③④式，可得a_B＝－a_A＝6 m/s²，

代入②式得

F＝m₂a_B－μm₁g＝0.5×6 N－0.2×1×10 N＝1 N，

若F＜1 N，则A滑到B的右端时，速度仍大于B的速度，于是将从B上滑落，所以F必须大于等于1 N.

当F较大时，在A到达B的右端之前，就与B具有相同的速度，之后，A必须相对B静止，才能不会从B的左端滑落．即有：

F＝(m₁＋m₂)a，

μm₁g＝m₁a，

所以F＝3 N，

若F大于3 N，A就会相对B向左端滑下．

综上，力F应满足的条件是1 N≤F≤3 N.

答案：1 N≤F≤3 N

8.有一项“快乐向前冲”的游戏可简化如下：如图所示，滑板长L＝1 m，起点A到终点线B的距离s＝5 m．开始滑板静止，右端与A平齐，滑板左端放一可视为质点的滑块，对滑块施一水平恒力F使滑板前进．板右端到达B处冲线，游戏结束．已知滑块与滑板间动摩擦因数μ＝0.5，地面视为光滑，滑块质量m₁＝2 kg，滑板质量m₂＝1 kg，重力加速度g＝10 m/s²，求：

(1)滑板由A滑到B的最短时间可达多少？

(2)为使滑板能以最短时间到达，水平恒力F的取值范围如何？

解析：(1)滑板一直加速，所用时间最短．设滑板加速度为a₂，

f＝μm₁g＝m₂a₂

a₂＝10 m/s²

s＝

t＝1 s

(2)刚好相对滑动时，F最小，此时可认为二者加速度相等，

F₁－μm₁g＝m₁a₂，

F₁＝30 N

当滑板运动到B点，滑块刚好脱离时，F最大，设滑块加速度为a₁，

F₂－μm₁g＝m₁a₁

－＝L

F₂＝34 N

则水平恒力大小范围是30 N≤F≤34 N

答案：(1)1 s　(2)30 N≤F≤34 N