在解决直线运动的某些问题时，如果用常规解法——一般公式法，解答繁琐且易出错，如果从另外角度入手，能够使问题得到快速、简捷解答.下面便介绍几种处理直线运动的巧法.

一、平均速度法

在匀变速直线运动中，物体在时间t内的平均速度等于物体在这段时间内的初速度v₀与末速度v的平均值，也等于物体在t时间内中间时刻的瞬时速度，即＝＝＝v.如果将这两个推论加以利用，可以使某些问题的求解更为简捷．

【例1】　(单选)一物体做匀加速直线运动，通过一段位移Δx所用的时间为t₁，紧接着通过下一段位移Δx所用的时间为t₂，则物体运动的加速度为(　　)

A.　　　  B.

C.          D.

[解析]　物体做匀变速直线运动，由匀变速直线运动规律：

＝v＝知：v＝①

v＝②

由匀变速直线运动速度公式v_t＝v₀＋at知

v＝v＋a·③

①②③式联立解得a＝

[答案]　A

二、逐差法

匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒量，即Δx＝x_n＋1－x_n＝aT²，一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔，应优先考虑用Δx＝aT²求解．

【例2】一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别为24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求质点的初速度v₀和加速度a.

[解析]　题目中出现了连续相等的时间间隔，应优先考虑用公式Δx＝aT²求解．根据题意有

Δx＝64 m－24 m＝40 m，T＝4 s

由此可得质点的加速度为a＝＝ m/s²＝2.5 m/s²

把前一段时间间隔内的x＝24 m，T＝4 s及a＝2.5 m/s²代入x＝v₀T＋aT²

解得v₀＝1 m/s

[答案]　1 m/s　2.5 m/s²

三、比例法

对于初速度为零的匀加速直线运动与末速度为零的匀减速直线运动，可利用初速度为零的匀加速直线运动的相关比例关系求解．

【例3】一物体做初速度为0的匀加速直线运动，从开始运动起，物体经过连续的三段位移所用的时间之比是1∶2∶3，求这三段位移大小之比．

[解析]根据初速度为0的匀加速直线运动中，连续相等的时间间隔内位移之比为连续奇数之比，解起来更方便．

若将时间等分为(1＋2＋3)＝6(段)

则x₁∶x₂∶x₃∶x₄∶x₅∶x₆＝1∶3∶5∶7∶9∶11

故x_Ⅰ∶x_Ⅱ∶x_Ⅲ＝1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)＝1∶8∶27

[答案]　1∶8∶27

四、逆向思维法

把运动过程的末态作为初态的反向研究问题的方法．一般用于末态已知的情况．

【例4】一物体以某一初速度在粗糙的平面上做匀减速直线运动，最后停下来．若此物体在最初5 s经过的路程与最后5 s经过的路程之比为11∶5，则此物体总共运动了多少时间？

[解析]　逆向观察物体运动的过程，物体做初速度为零的匀加速直线运动，在初速度为零的匀加速直线运动中，第一个5 s内与第n个5 s内，位移之比为1∶(2n－1)，故根据题意有＝

求得n＝1.6，所以运动的总时间为t＝1.6×5 s＝8 s

[答案]　8 s

五、相对运动法

以系统中的一个物体为参考系研究另一个物体运动情况的方法．

【例5】物体A、B从同一地点，同时沿同一方向运动，A以10 m/s的速度做匀速直线运动，B以2 m/s²的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求A、B相遇前两物体间的最大距离．

[解析]　因为本题求解的是A、B间的相对距离，所以可以利用相对运动法求解．选A为参考系，B相对A的初速度v₀＝10 m/s，加速度a＝－2 m/s²，距离最远时，v＝0

根据v²－v＝2aΔx_max有Δx_max＝

解得Δx_max＝25 m

[答案]　25 m

六、图象法

应用v－t图象，可把较复杂的问题转变为较简单的数学问题解决．尤其是用图象定性分析，可避开繁杂的计算，快速找出答案．

【例6】汽车从甲地由静止出发，沿平直公路驶向乙地．汽车先以加速度a₁做匀加速直线运动，然后做匀速运动，最后以大小为a₂的加速度做匀减速直线运动，到乙地恰好停止．已知甲、乙两地的距离为x，求汽车从甲地到乙地的最短时间t和运行过程中的最大速度v_m.

[解析]　由题意作出汽车做匀速运动时间长短不同的v－t图象，如图所示．不同的图线与横轴所围成的“面积”都等于甲、乙两地的距离x.由图象可知汽车做匀速运动的时间越长，从甲地到乙地所用的时间就越长，所以当汽车先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动，中间无匀速运动时，行驶的时间最短．设汽车做匀加速直线运动的时间为t₁，则匀减速直线运动的时间为(t－t₁)．则

v_m＝a₁t₁＝a₂(t－t₁)

解得t₁＝，则v_m＝

由图象中三角形面积的物理意义有

x＝v_mt＝

解得t＝，故v_m＝

[答案] 　

【实战演练】

1．(多选)静止在光滑水平面上的木块，被一颗子弹沿水平方向击穿，若子弹击穿木块的过程中子弹受到木块的阻力大小恒定，则当子弹入射速度增大时，下列说法正确的是(　　)

A．木块获得的速度变大

B．木块获得的速度变小

C．子弹穿过木块的时间变长

D．子弹穿过木块的时间变短

【解析】：选BD.子弹穿透木块过程中，子弹做匀减速运动，木块做匀加速运动，画出如图所示的v－t图象，图中实线OA、v₀B分别表示木块、子弹的速度图象，而图中梯形OABv₀的面积为子弹相对木块的位移，即木块长度L.当子弹入射速度增大变为v₀′时，子弹、木块的运动图象便如图中虚线v₀′B′、OA′所示，梯形OA′B′v₀′的面积仍等于子弹相对木块的位移L，由图线可知，子弹入射速度越大，木块获得的速度越小，作用时间越短，B、D正确． 

2．(单选)一个固定在水平面上的光滑物块，其左侧面是斜面AB，右侧面是曲面AC，如图所示．已知AB和AC的长度相同，两个小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑，比较它们到达水平面所用的时间(　　)

A．p小球先到　　　 B．q小球先到

C．两小球同时到     D．无法确定

【解析】：选B.可以利用v－t图象(这里的v是速率，曲线下的面积表示路程x)定性地进行比较．在同一个v－t图象中作出p、q的速率图线，如图所示．显然开始时q的加速度较大，斜率较大；由于机械能守恒，末速率相同，即曲线末端在同一水平图线上．为使路程相同(曲线和横轴所围的面积相同)，显然q用的时间较少．

3．(多选)一物体做匀减速直线运动，一段时间Δt(未知)内通过的位移为x₁，紧接着的Δt时间内通过的位移为x₂，又经过位移x(未知)物体的速度减小为0，则(　　)

A．可求Δt

B．可求加速度a的大小

C．Δt和加速度a的大小均不可求

D．可求x，x＝

【解析】：选CD.本题考查中间时刻速度法、逆向思维法及巧用推论法等．题中只知道位移x₁和x₂，则相等时间Δt和加速度a的大小不可求，A、B错误，C正确；物体的运动反过来可看为初速度为0的匀加速直线运动，根据匀变速直线运动中连续相等时间内的位移之差都等于aT²，有，x₂－x₁＝a(Δt)²，这2Δt时间中间时刻的瞬时速度为v＝，则x＝－x₂＝，D正确．

4．(单选)(2015·郑州质检)做匀加速直线运动的质点在第一个7 s内的平均速度比它在第一个3 s内的平均速度大6 m/s，则质点的加速度大小为(　　)

A．1 m/s²     B．1.5 m/s²

C．3 m/s²     D．4 m/s²

【解析】：选C.本题考查匀变速直线运动的规律，意在考查学生对基本运动规律的理解．由匀加速直线运动的规律可知，一段时间内的平均速度等于该段时间中间时刻的瞬时速度，结合题意可知，v_3.5－v_1.5＝6 m/s，时间间隔t＝2 s，因此可得加速度为a＝＝3 m/s².对比各选项可知答案选C.

5．(单选)(2015·广西南宁二中月考)取一根长2 m左右的细线、5个铁垫圈和一个金属盘，在线下端系上第一个垫圈，隔12 cm再系一个，以后垫圈之间的距离分别为36 cm、60 cm、84 cm，如图所示．站在椅子上，向上提起线的上端，让线自由垂下，且第一个垫圈紧靠放在地面上的金属盘．松手后开始计时，若不计空气阻力和垫圈厚度，则第2、3、4、5各垫圈(　　)

A．落到盘上的时间间隔越来越大

B．落到盘上的时间间隔相等

C．依次落到盘上的速度关系为1∶∶∶2

D．依次落到盘上的时间关系为1∶(－1)∶(－)∶(2－)

【解析】：选B.可把2、3、4、5盘的运动转换成1个盘的匀加速运动．由于12∶36∶60∶84＝1∶3∶5∶7，故时间间隔相等，速度关系为1∶2∶3∶4.B正确．

6．一列火车由静止开始做匀加速直线运动，一个人站在第1节车厢前端旁的站台前观察，第1节车厢通过他历时2 s，全部车厢通过他历时8 s，忽略车厢之间的距离，车厢长度相等，则第9节车厢通过他所用时间为__________，这列火车共有________节车厢．

【解析】：根据初速度为零的匀变速直线运动的推论有：

t₁∶t₉＝1∶(－)

可得第9节车厢通过观察者所用时间为

t₉＝(－)t₁＝2(3－2) s

根据x＝at²可知第1节、前2节、前3节、…、前N节车厢通过观察者所用时间之比为

t₁∶t₂∶t₃∶…∶t_N＝1∶∶∶…∶.

则有t₁∶t_N＝1∶

解得火车车厢总数为N＝²＝²＝16.

答案：2(3－2) s　16

7．一辆汽车在笔直的公路上做匀变速直线运动，该公路旁每隔15 m安置一个路标．汽车经过A、B两相邻路标用时2 s，通过B、C两相邻路标用时3 s，求汽车通过A、B、C三个路标时的速度．

解析：汽车做匀变速直线运动，AB段的平均速度v₁等于从A点起1 s末的瞬时速度，BC段的平均速度v₂等于从A点起3.5 s末的瞬时速度

由＝＝v，得v₁＝＝7.5 m/s，v₂＝＝5 m/s

由v_t＝v₀＋at得汽车的加速度

a＝＝＝ m/s²＝－1 m/s²

所以v_A＝v₁－at₁＝7.5＋1×1＝8.5(m/s)

v_B＝v_A＋at₂＝8.5－1×2＝6.5(m/s)

v_C＝v_B＋at₃＝6.5－1×3＝3.5(m/s)．

答案：8.5 m/s　6.5 m/s　3.5 m/s

8．跳水运动员在某次练习跳水时，从10 m高的跳台呈竖直状态自由下落，已知该运动员的身高为1.8 m，在其下落过程中经过一空中摄像头的时间为0.2 s，试求运动员下落时距摄像头的高度．(g＝10 m/s²)

【解析】：运动员从脚到达摄像头到头离开摄像头的位移x＝1.8 m，时间t₁＝0.2 s

则该过程中运动员中间时刻的速度：

v＝＝＝9 m/s

由v＝gt得：t＝＝＝0.9 s

运动员从开始下落到脚到达摄像头的时间：

t′＝t－＝0.9 s－0.1 s＝0.8 s

故下落时运动员到摄像头的高度：

h＝gt′²＝×10×0.8² m＝3.2 m.

答案：3.2 m