带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的问题一般有多解.形成多解的原因有以下几个方面：

一、带电粒子电性不确定形成多解

受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在初速度相同的条件下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解．如图甲所示，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹为b.

二、磁场方向不确定形成多解

磁感应强度是矢量，有时题目中只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向．此时必须要考虑磁感应强度方向的不确定而形成的多解．如图乙所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b.

三、临界状态不唯一形成多解

带电粒子在洛伦兹力作用下穿越有界磁场时，由于带电粒子的运动轨迹是圆周的一部分，因此带电粒子可能穿越了有界磁场，也可能转过180°能够从入射的那一边反向飞出，就形成多解．如图丙所示．

 丙　　　   　丁

四、带电粒子运动的重复性形成多解

带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时，往往具有重复性的运动，形成了多解．如图丁所示．

【例1】如图甲所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界．现有质量为m，电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动的时间．

[解析]本题没有明确粒子究竟带何种性质的电荷，所以粒子的轨迹可能是图乙中的两条．由qvB＝m和T＝得：T＝.若粒子带正电，轨迹如图乙中左边圆弧所示，轨迹圆弧为圆周，粒子在磁场中运动的时间为：t₁＝T＝.若粒子带负电，轨迹如图乙中右边圆弧所示，轨迹圆弧为圆周，粒子在磁场中运动的时间为：t₂＝T＝.

[答案]　或

【例2】如图，水平地面上方有绝缘弹性竖直挡板，板高h＝9 m，与板等高处有一水平放置的篮筐，筐口的中心离挡板s＝3 m．板的左侧以及板上端与筐口的连线上方存在匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B＝1 T；质量m＝1×10^－3kg、电荷量q＝－1×10^－3C、可视为质点的带电小球从挡板最下端，以某一速度水平射入场中做匀速圆周运动，若与挡板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电荷量不变，小球最后都能从筐口的中心处落入筐中(不考虑与地面碰撞后反弹入筐情况)，g＝10 m/s²，求：

(1)电场强度的大小与方向；

(2)小球从出发到落入筐中的运动时间的可能取值．(计算结果可以用分数和保留π值表示)

[解析](1)因为小球做匀速圆周运动，

所以有qE＝mg，

E＝＝10 N/C，方向竖直向下．

(2)洛伦兹力提供向心力有：qvB＝m，且T＝

得：T＝＝2π s.

因为速度方向与半径方向垂直，圆心必在挡板的竖直线上，且R≥s＝3 m.

设小球与挡板碰n次，其最大半径为.

要击中目标必有：≥3，即≥3，得n≤1.5，

n只能取0,1.

当n＝0时，即为图甲中运动轨迹R＝(9－R_m)²＋s²，

解得R_m＝5 m.

如图甲中由几何知识有：sin α＝＝，

得α＝37°.

对应小球运动时间最短，为

t_min＝＝ s.

　

甲　　　　　　　　　乙

当n＝1时，可得：(h－3R)²＋s²＝R²，

解得：R₁＝3 m，R₂＝3.75 m.

R₁＝3 m时由如图乙中的②运动轨迹可知：

运动时间t＝＝    s.

R₂＝3.75 m时运动时间最长，如图乙中的轨迹①所示，由几何知识有：cos β＝＝，所以β＝37°

则t_max＝＝ s.

所以时间的可能值为： s， s， s.

[答案]　(1)10 N/C，方向竖直向下

(2) s， s， s

[方法总结]　求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧：

(1)分析题目特点，确定题目多解性形成原因．

(2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)．

(3)若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件．

【实战演练】

 

1．(多选)一质量为m，电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是(　　)

A.　　　B.

C.    D.

解析：选AC.依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反．在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的．当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv＝m，得v＝，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝＝；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bqv＝m，v＝，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝＝，应选AC.

2.(单选)如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角(0<θ<π)以速率v发射—个带正电的粒子(重力不计)．则下列说法正确的是(　　)

A．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短

B．若v一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远

C．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大

D．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短

解析：选A.由左手定则可知，带正电的粒子向左偏转．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短，选项A正确；若v一定，θ等于90°时，粒子在离开磁场的位置距O点最远，选项B错误；若θ一定，粒子在磁场中运动的周期与v无关，由ω＝可知粒子在磁场中运动的角速度与v无关，选项C、D错误．

3.如图所示，虚线OL与y轴的夹角为θ＝60°，在此角范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从左侧平行于x轴射入磁场，入射点为M.粒子在磁场中运动的轨迹半径为R.粒子离开磁场后的运动轨迹与x轴交于P点(图中未画出)，且＝R.不计重力．求M点到O点的距离和粒子在磁场中运动的时间．

解析：根据题意，粒子进入磁场后做匀速圆周运动，设运动轨迹交虚线OL于A点，圆心在y轴上的C点，AC与y轴的夹角为α；粒子从A点射出后，运动轨迹交x轴于P点，设AP与x轴的夹角为β，如图所示．

有qvB＝m

周期为T＝，由此得T＝

过A点作x、y轴的垂线，垂足分别为B、D.由几何知识得

＝Rsin α，＝cot 60°

＝cot β，＝＋，α＝β，联立以上五式得到

sin α＋cos α＝1，解得α＝30°或α＝90°

设M点到O点的距离为h，则有

h＝R－，＝－＝Rcos α－

联立得到h＝R－Rcos(α＋30°)

解得h＝R(α＝30°)

h＝R(α＝90°)

当α＝30°时，粒子在磁场中运动的时间为t＝＝

当α＝90°时，粒子在磁场中运动的时间为t＝＝

答案：R、或R、

4．(2014·高考江苏卷)某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示. 装置的长为 L，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为 B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d.装置右端有一收集板，M、N、P 为板上的三点，M 位于轴线 OO′上，N、P 分别位于下方磁场的上、下边界上. 在纸面内，质量为 m、电荷量为－q 的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成 30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达 P 点. 改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置．不计粒子的重力．

(1)求磁场区域的宽度 h;

(2)欲使粒子到达收集板的位置从 P 点移到 N 点，求粒子入射速度的最小变化量Δv；

(3)欲使粒子到达 M 点，求粒子入射速度大小的可能值．

解析：(1)设粒子在磁场中的轨道半径为r，粒子的运动轨迹如图所示．

根据题意知L＝3rsin 30°＋3dcos 30°，且磁场区域的宽度h＝r(1－cos 30°)

解得：h＝.

(2)设改变入射速度后粒子在磁场中的轨迹半径为r′，洛伦兹力提供向心力，则有

m＝qvB，m＝qv′B，

由题意知3rsin 30°＝4r′sin 30°，

解得粒子速度的最小变化量

Δv＝v－v′＝.

(3)设粒子经过上下方磁场共n＋1次

由题意知L＝(2n＋2)dcos 30°＋(2n＋2)r_nsin 30°

且m＝qv_nB，

解得v_n＝.

答案：(1)　(2)

(3)

5．(2014·高考重庆卷)如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h，质量为m、带电量为＋q的粒子从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g.

(1)求电场强度的大小和方向；

(2)要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值；

(3)若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值．

解析：(1)设电场强度大小为E

由题意有mg＝qE

得E＝，方向竖直向上．

(2)如图甲所示，设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值为v_min，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r₁和r₂，圆心的连线与NS的夹角为φ.

由r＝，有r₁＝，

r₂＝＝r₁

由(r₁＋r₂)sin φ＝r₂，

r₁＋r₁cos φ＝h

得v_min＝(9－6).

 

　

 甲　　　　　　　　乙

(3)如图乙所示，设粒子入射速度为v，粒子在上、下方区域的运动半径分别为r₁和r₂，粒子第一次通过KL时距离K点为x.

由题意有3nx＝1.8h(n＝1,2,3，…)

x≥

x＝

得r₁＝，n<3.5

即n＝1时，v＝；

n＝2时，v＝；

n＝3时，v＝.

答案：(1)　方向竖直向上　(2)(9－6)

(3)