一、割补法求解电场强度

由于带电体不规则，直接求解产生的电场强度较困难，若采取割或补的方法，使之具有某种对称性，从而使问题得到简化．

【例1】若在一半径为r，单位长度带电量为q(q＞0)的均匀带电圆环上有一个很小的缺口Δl(且Δl?r)，如图所示，则圆心处的场强为多大？

[解析]　法一：填补法．

把缺口处填补为完整的圆，则填补上的小圆弧带电量q′＝Δlq.

由于Δl?r，故可视为点电荷，它在O点产生的场强为：

E′＝.

由对称性可知整个圆环在O点的场强E_合＝0，

则存在缺口时在O点的场强

E＝E′

即E＝.

法二：割除法．

如图把与缺口对称的圆弧割除，由对称性知，剩余电荷在O点的场强为0，则未割前在O点的场强等于割除部分在O点产生的场强，显然：E＝.

[答案]　

[名师点拨]　采用割补法解决问题时，一般要结合对称法和场的叠加才能顺利求解．

 

二、等效法求解电场中的圆周运动

带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是一类重要而典型的题型．对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大．若采用“等效法”求解，则过程往往比较简捷．

【例2】如图所示，一条长为L的细线上端固定，下端拴一个质量为m的电荷量为q的小球，将它置于方向水平向右的匀强电场中，使细线竖直拉直时将小球从A点静止释放，当细线离开竖直位置偏角α＝60°时，小球速度为0.

(1)求：①小球带电性质；②电场强度E.

(2)若小球恰好完成竖直圆周运动，求小球在A点应有的初速度v_A的大小(可含根式)．

[解析]　(1)①根据电场方向和小球受力分析可知小球带正电．

②小球由A点释放到速度等于零，由动能定理有

0＝EqLsinα－mgL(1－cosα)

解得E＝

(2)将小球的重力和电场力的合力作为小球的等效重力G′，则G′＝mg，方向与竖直方向成30°角偏向右下．

若小球恰能做完整的圆周运动，在等效最高点

m＝mg，

mv²－mv＝－mgL(1＋cos 30°)

联立解得v_A＝

[答案]　(1)①正电　②　(2)

[方法总结]　等效法求解电场中圆周运动问题的解题思路：

(1)求出重力与电场力的合力F_合，将这个合力视为一个“等效重力”．

(2)将a＝视为“等效重力加速度”．

(3)将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解．

【实战演练】

 

1．(单选)电荷量为－q的点电荷与均匀带电薄板相距2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心．若图中a点处的电场强度为零，根据对称性，带电薄板在图中b点处产生的电场强度的大小和方向分别为(　　)

A.＋，水平向左　　　B.，水平向左

C.，水平向右       D.，水平向左

解析：选C.根据题意可知，因为a点合场强为0，故带电薄板在a点产生的场强E_a与点电荷－q在a点产生的场强大小相等、方向相反，即E_a＝，方向水平向左；又因为a、b关于薄板对称，根据对称性，带电薄板在b点产生的场强与E_a大小相等，方向相反，故在b点产生的场强大小为，方向水平向右．

2．(单选)如图甲所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P(坐标为x)的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E＝2πkσ，方向沿x轴．现考虑单位面积带电量为σ₀的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板，如图乙所示．则圆孔轴线上任意一点Q(坐标为x)的电场强度为(　　)

A．2πkσ₀     B．2πkσ₀

C．2πkσ₀         D．2πkσ₀

解析：选A.应用特殊值法，当R→∞时，＝0，则E＝2πkσ₀，当挖去半径为r的圆孔时，应在E中减掉该圆孔相应的场强E_r＝2πkσ₀，即E′＝2πkσ₀，故A正确．

3.在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：

(1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？

(2)小球在B点的初速度多大？

解析：(1)如图所示，小球所受到的重力、电场力均为恒力，二力的合力为F＝.

重力场与电场的叠加场为等效重力场，F为等效重力，小球在叠加场中的等效重力加速度为g′＝，其方向与F同向，因此B点为等效最低点，A点为等效最高点，小球在A点速度最小，设为v_A，此时细线的拉力为零，等效重力提供向心力，则：mg′＝m

得小球的最小速度为v_A＝

(2)设小球在B点的初速度为v_B，由能量守恒得：

mv＝mv＋mg′·2l

将v_A的数值代入得：v_B＝

答案：(1)A点速度最小　　(2)

4．如图所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为30°的斜面，AC部分为竖直平面上半径为R的圆轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中．现有一个质量为m的小球，带正电荷量为q＝，要使小球能安全通过圆轨道，在O点的初速度应为多大？

 

解析：电场力与重力的合力视为等效重力mg′，大小为mg′＝＝，tan θ＝＝，得θ＝30°，等效重力的方向与斜面垂直指向右下方，小球在斜面上匀速运动，由几何关系知：A为等效最低点，D为等效最高点，要使小球安全通过圆轨道，经过D点时应满足：

mg′≤

令小球以最小初速度v₀运动，由动能定理知：

－mg′·2R＝mv－mv

解得v≥

答案：v≥

5.(2015·合肥质检)如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心在O点，半径为r，内壁光滑，A、B两点分别是圆形轨道的最低点和最高点．该区域存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经过C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g.求：

(1)小球受到的电场力的大小；

(2)小球在A点的速度v₀多大时，小球经过B点时对轨道的压力最小？

解析：(1)小球经过C点时速度最大，则在该点电场力与重力的合力沿半径方向，小球受到的电场力的大小F＝mgtan 60°＝mg

(2)小球经过B点时对轨道的压力最小，则需小球到达D点时速度最小．设小球在D点时轨道对小球的压力恰好为零，有

＝m，则v＝

小球在轨道上由A点运动到D点的过程中有：

mgr(1＋cos θ)＋Frsin θ＝mv－mv²

解得：v₀＝2

答案：(1)mg　(2)2